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《数海拾贝》：托尔斯泰的割草之谜

2023-11-23 理论教育版权反馈

【摘要】：为此,我们也可以假设每人每天割草面积为1,则有关系式托尔斯泰没有设定未知数求解,而是应用构图法求解,构思巧妙,解法简捷,是“割草问题”最为简捷的解法,几乎不用动笔即可解之。

托尔斯泰创作了宏著《战争与和平》《安娜·卡列尼娜》,还著有《复活》《黑暗的势力》等。他还是一位数学爱好者,每当看到有趣的数学问题,总会丢下其他事情,沉迷于数学演算之中。他甚至还编制了许多数学题目,这些题目饶有趣味,比如“割草问题”。

一队割草人要割两块草地,其中一块草地的面积为另一块的2 倍。上午全队在大草地割草,下午分为两部分:一半仍留在大草地,另一半则转到小草地。晚上收工时,大草地全部割完,而小草地还剩下一小块。第二天,正好1 人1 天割完。问割草队共有多少人? (假定每个人割草速度相同,上、下午时间相同)

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1.9.1　俄罗斯文学家托尔斯泰

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1.9.2　美国文学家杰克·伦敦

“割草问题”解法较多,既可以用算术方法求解,亦可用方程(组)求解。我们不妨先用方程求解。

分析:由题意知,因全队在大草地割草一上午,半队人马又割草一下午割完,故半队半天可割大草地的1/3,而小草地所剩草地为大草地面积的

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又全队一天割草面积为大草地面积的

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解法1:设割草队共有x 人,则有分式方程

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解之,得

x=8(人)

解法2:设割草队共有x 人,每人每天割草面积为y,则有大草地面积为

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小草地面积为

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因大草地面积为小草地面积的2 倍,有(www.chuimin.cn)

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显然,y≠0,故上式可简化为

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解之,得

x=8(人)

虽然这里设定了2 个未知数,但y 只是个辅助变量,能够帮助我们顺利找出相等关系,而又没有必要求之。为此,我们也可以假设每人每天割草面积为1,则有关系式

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托尔斯泰没有设定未知数求解,而是应用构图法求解,构思巧妙,解法简捷,是“割草问题”最为简捷的解法,几乎不用动笔即可解之。

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1.9.3　托尔斯泰解法

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图1.9.4　图形解法

解法3:设大草地面积为1,则一半人在半天时间里割草面积就是1/3;而在小草地上另一半人工作了一个下午,其割草面积亦是1/3。故第一天割草总面积为4/3(大草地的1 +小草地的1/3),如图1.9.3 所示。

大草地面积是小草地面积的2 倍,故小草地面积是1/2;而第一天下午已割了1/3,故还剩下1/6。剩下草地上的草第二天由一个人割完,说明一个割草人每天割草面积是1/6。

将第一天割草总面积除以一个割草人每天割草面积,则得割草总人数

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托尔斯泰解法的关键是:把大草地看作单位1,用割草面积除以割草效率就是割草人数。受其启发,用同样大小的两块草地倒过来与原草地组成图1.9.4。

解法4:图1.9.4 由9 块面积同样大小的方块草地组成,中间一块的一半由1 人1 天割完,故每小方块草地2 人1 天割完。根据题设条件全队人1 天共割了4 方块草地,故全队人数为2 ×4 =8(人)。