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正三角形剖分与傅里叶

2023-11-23 理论教育版权反馈

【摘要】：法国数学家傅里叶对正三角形也颇有研究。图1.8.4三角形剖分成25 个三角形图1.8.5三角形剖分成49 个三角形傅里叶首先考虑了一些特殊情形,如先把一个正三角形的三条边5 等分,然后适当连接这些等分点,便得到一系列面积相等的小正三角形。显然有1 +3 +5 +7 +9 =25 =52这让傅里叶很兴奋,接着他又把一个正三角形的三条边7 等分,得到72 =49 个小正三角形。

法国数学家傅里叶(1768—1830)对正三角形也颇有研究。同塔塔利亚一样,傅里叶也有着悲惨的童年,他9 岁时父母双亡,幸好有位主教收养了他。 4 年后他被送到教会主办的当地一所军事学校学习。傅里叶的才能很快就显现出来,特别是其文学写作能力受到全校师生的赞誉,他的文章具有很强的雄辩性和鼓动性,乃至巴黎一些教堂的传教士纷纷来请他撰写布道文。一次偶然机会,傅里叶接触了数学,神奇的数学世界使他流连忘返。他常把厨房和角落里的蜡烛头收集起来,以备晚上读书学习。

1789 年法国大革命爆发后,新兴的资产阶级建立了一些新型的教育、科学机构。 1794 年巴黎高等师范学校创立,第二年巴黎综合工科学校也创立了,这标志着法国数学新时代的开始。在这两所国际著名的学校里,傅里叶表现出卓越的数学才华。

1798 年傅里叶追随拿破仑(B.Napoléon,1769—1821) 远征埃及。1801 年返回法国后,担任伊泽尔行政区行政长官,同时继续其数学理论研究。 1807 年傅里叶将论文《热解析理论》提交法国科学院,而评审委员会批评该文缺乏严密性,为此他愤愤不平。 1811 年傅里叶把修改后的论文再次提交科学院,虽然赢得了大奖,但评审委员会仍认为该论文缺乏严密性,故未刊登在法国科学院院刊上,这极大地伤害了傅里叶的自尊心。 10 年之后,傅里叶当选为法国科学院终身秘书,他把自己后来的那篇论文一字未改地发表在科学院院刊上。

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图1.8.3　傅里叶

数学家往往都有一些怪癖。傅里叶一生主要研究热传导理论,埃及的行军经历竟使其相信:身体保持高温对健康有益。他经常在身上裹好几层布,像木乃伊一样,并且使室内保持着比撒哈拉沙漠还要高的温度。这显然不利于身体健康,最终导致其1830 年死于心脏病。

傅里叶追随拿破仑远征埃及期间,曾来到数学家毕达哥拉斯的故乡,看到那些悠久的古代文明遗迹,敬佩之情油然而生。眺望着远方的金字塔,他突发奇想:对于一个正三角形,能否将其剖分成m2 个全等的小正三角形?

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图1.8.4　三角形剖分成25 个三角形

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图1.8.5　三角形剖分成49 个三角形

傅里叶首先考虑了一些特殊情形,如先把一个正三角形的三条边5 等分,然后适当连接这些等分点,便得到一系列面积相等的小正三角形。显然有

1 +3 +5 +7 +9 =25 =52

这让傅里叶很兴奋,接着他又把一个正三角形的三条边7 等分,得到72 =49 个小正三角形。自然可把问题推广到一般情形,他把三角形三条边均分成m 等份,然后分别连接等分点,这样就得到(www.chuimin.cn)

1 +3 +5 +7 +9 +…+(2m-1) =m2

对于这个一般结论,傅里叶感到很欣慰。

将问题稍微推广一点:若已知图1.8.4 中阴影部分面积是294 cm2,求图1.8.5 中阴影部分面积。初看两个图形中小三角形大小不一,难以计算其面积。然而注意到,两个大三角形边长相等,应用相互之间的比例关系则可确定。

因图1.8.4 阴影部分小三角形有12 个,而图1.8.5 阴影部分小三角形有16 个,且前者阴影部分面积是294 cm2,故后者阴影部分面积为

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傅里叶回到法国后,在杂志上看到一个问题:能否把一个三角形剖分成12 个全等的小三角形? 他还是考虑了特殊情形,即对于一个正三角形容易剖分成12 个全等三角形(图1.8.6),但对于一般三角形没有解决。不过他发现了下面事实:

若直角三角形的两条直角边之比为1∶ 2,则可剖分成5个全等的小直角三角形,且其与原直角三角形相似。

傅里叶的作法很简洁,如图1.8.7 所示。若假设原直角三角形的两条直角边长分别是1 和2,则其斜边长为5,显然小直角三角形斜边长为1,而两条直角边长分别为 pagenumber_ebook=57,pagenumber_book=48 。

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图1.8.6　正三角形剖分成12 个三角形

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图1.8.7　直角三角形剖分成5 个三角形