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2023-11-06
塔塔利亚、锈规和正三角形的数学故事
【摘要】：此乃著名的锈规作图问题。塔塔利亚家里很穷,因交不起学费一生仅仅上学两个星期。这当然难不住生性聪慧的塔塔利亚,他很快就作出了边长为a 的正三角形。图1.8.1塔塔利亚图1.8.2锈规作正三角形(小)分别以BE、AF 为底,用锈规作边长为b 的正三角形△EGB 和△AHF,而其边AH、BG 相交于一点C,由于∠CAB=∠CBA=60°,故△ABC 为所求。1983 年美国几何学家佩多发现:若给定两点A 和B,其距离大于1 个且小于2 个锈规跨度,则可作出正三角形。
利用尺规作图画正三角形,其作法相当简单:先用直尺画出一条任意长度的线段(等边三角形边长),再分别以线段两个端点为圆心、以线段长度为半径画弧,只要在两交点中任选一点,和原线段两个端点连接,则构成一个正三角形。
你是否想过用生锈的圆规来作正三角形? 此乃著名的锈规作图问题。 所谓“锈规”,就是圆规生锈了,导致其两脚张角不能改变。 应用锈规作图肯定有困难,但也是有可能的。
意大利数学家塔塔利亚(Tartaglia,1499—1557),其名意为“口吃者”,他原姓Fontana。 在塔塔利亚儿时,法国军队占领了意大利,一士兵枪杀了其父亲,还刺伤了塔塔利亚的颔部和舌头,使他丧失了准确说话的能力。 塔塔利亚家里很穷,因交不起学费一生仅仅上学两个星期。 在母亲指导下,他完全凭借自学在数学上取得了很大成就。 塔塔利亚的《论数字与度量》是16 世纪最优秀的数学著作之一,他最重要的数学成就是发现了一元三次代数方程的一般解法。
塔塔利亚曾在一所学校教学糊口。 他买不起好圆规,有次上课时发现其圆规已经锈住了。 他要作一个边长为a 的正三角形,但锈圆规的跨距却为b(a <b)。 这当然难不住生性聪慧的塔塔利亚,他很快就作出了边长为a 的正三角形。
其作法为(如图1.8.2 所示):将线段AB =a 左右延长,再分别以A、B 为圆心,用锈规画弧,截得BE=AF=b。
图1.8.1 塔塔利亚(www.chuimin.cn)
图1.8.2 锈规作正三角形(小)
分别以BE、AF 为底,用锈规作边长为b 的正三角形△EGB 和△AHF,而其边AH、BG 相交于一点C,由于∠CAB=∠CBA=60°,故△ABC 为所求。
这个做法甚是漂亮! 自然想到,当a >b 时,能否用锈规作出正三角形?
1983 年美国几何学家佩多(D.Pedoe)发现:若给定两点A 和B,其距离大于1 个且小于2 个锈规跨度,则可作出正三角形。 作法此处从略。
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