数学怪兽阿贝尔：一个英雄的征服之旅

2023-11-23 理论教育版权反馈

【摘要】：阿贝尔征服了两个数学怪兽:一元五次代数方程和椭圆函数。图1.5.1阿贝尔阿贝尔1802 年8 月出生于挪威。七个兄弟姐妹中,阿贝尔排行第二。后来数学上把这个结果称为阿贝尔-鲁芬尼定理。1827 年5 月底,阿贝尔回到了克里斯蒂安尼亚。不过阿贝尔的身体越来越衰弱。1829 年4 月6 日,阿贝尔离开了人世,身边只有其未婚妻克里斯汀。

阿贝尔(N.H.Abel,1802—1829)征服了两个数学怪兽:一元五次代数方程和椭圆函数。翻开近世数学著作,阿贝尔的名字可谓俯拾皆是:阿贝尔积分、阿贝尔函数、阿贝尔积分方程、阿贝尔群、阿贝尔级数、阿贝尔部分和公式、阿贝尔基本定理、阿贝尔极限定理、阿贝尔可和性等。然而这位卓越数学家却命途多舛,仅仅活了27 岁。

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图1.5.1　阿贝尔

阿贝尔1802 年8 月出生于挪威。七个兄弟姐妹中,阿贝尔排行第二。父亲是个穷牧师,母亲安妮是个非常美丽的女人,她遗传给阿贝尔惊人的漂亮容貌。阿贝尔小时候由父亲和哥哥教导识字,不过他很早便显示出数学才华。 16 岁那年他开始阅读牛顿、欧拉、拉格朗日、高斯的著作,大师们不同凡响的创造性方法和成果,一下子开阔了阿贝尔的视野,把他的精神提升到一个崭新境界,他很快就进入了当时数学研究的前沿阵地。后来他感慨地在笔记中写道:“要想在数学上取得进展,就应该阅读大师的而不是他们门徒的著作。”

在中学的最后一年,阿贝尔试图解决困扰了数学界几百年的五次方程问题,不久便认为得到了答案。其老师霍姆伯厄将阿贝尔的研究手稿寄给了丹麦当时最著名的数学家达根。达根教授看不出阿贝尔的论证有什么错误的地方,但他知道这个许多大数学家都解决不了的问题不会这么简单地解决,于是给了阿贝尔一些可贵忠告,希望其再仔细演算自己的推导过程。同时阿贝尔也发现了自己推理中的缺陷。这次失败对他是一个非常有益的打击,把他推上了正确的研究途径,使其怀疑五次方程有代数解是否可能。 1822 年6 月,阿贝尔靠着霍姆伯厄等人的帮助,在克里斯蒂安尼亚大学(今奥斯陆大学)念完了必修课程,那时大学和城里的人都知道他是一个了不起的数学天才。可其父已于两年前去世,家里几乎一贫如洗,没钱继续支持他从事数学研究。老师和朋友们也无法再拿出更多钱资助他去当时的世界数学中心巴黎深造。

1823 年夏,天文学教授拉斯穆辛资助阿贝尔去哥本哈根见达根教授,希望他能在外面长见识和扩大眼界。从丹麦回来后阿贝尔重新考虑一元五次方程解的问题,终于正确解决了这个几百年来的难题:证明五次方程不存在代数解。后来数学上把这个结果称为阿贝尔-鲁芬尼定理。阿贝尔认为这个结果很重要,便自掏腰包在当地的印刷馆印刷他的论文。为了减少印刷费,他把证明压缩成只有6 页的小册子。

阿贝尔满怀信心地把这本小册子寄给外国数学家,包括德国的高斯,希望能得到一些反应。可惜文章太简洁了,没有人能看懂。高斯收到这本小册子时觉得不可能用如此短的篇幅解决该著名问题,于是顺手就扔在书堆里了。

阿贝尔在数学和天文学界的朋友们说服大学去请求挪威政府资助这个年轻人,作一次以数学为主要目的的欧洲之行。经过过分慎重的考虑之后,政府妥协了,但不是立刻派阿贝尔去法国和德国,而是给他一笔奖金,让他在克里斯蒂安尼亚复习法语和德语。在延误了一年半后,1825 年8 月,皇家从窘迫的财政中拨出一笔钱给当时23 岁的阿贝尔,让他能够在法国和德国旅行和学习一年。

阿贝尔在德国并未去找高斯,可能他觉得这个大数学家难以接近,因为其以前把文章寄给他均未得到回音。 1826 年7 月,阿贝尔离开德国到了法国,当时的法国皇家科学院正被柯西(Augustin Louis Cauchy,1789—1857)、泊松(Simeon-Denis Poisson,1781—1840)、傅里叶(Jean Baptiste Joseph Fourier,1768—1830)和勒让德(Adrien-Marie Legendre,1752—1833)等年迈的大数学家们把持,学术气氛非常保守,他们各自又忙于自己的研究课题,对年轻人的工作并不重视。阿贝尔在巴黎期间觉得很难和法国数学家谈论他的研究成果。曾寄一论文给法国皇家科学院,论文到了勒让德手上,他看不大懂,就转给柯西,而柯西正忙于自己的研究工作,无暇理睬,随手翻翻就丢在一个角落里。(www.chuimin.cn)

阿贝尔的这篇论文《关于广泛的一类超越函数一般性质研究》是数学史上里程碑式的工作,他长久等待着消息,可一点音讯也没有,最后只好失望地回到柏林。在那里他病倒了,不知道自己患上了肺结核,以为是国外的孤寂生活使身体衰弱。此时,他只剩下约7 元钱,只好求助霍姆伯厄。从1827 年3 月到5 月,阿贝尔靠霍姆伯厄的60 元借款生活和从事研究。

1827 年5 月底,阿贝尔回到了克里斯蒂安尼亚。那时他不仅身无分文,还欠了朋友一些钱。而弟弟以其名义借的钱,他也必须还清。无奈的阿贝尔靠给小学生、中学生补习初级数学、德语和法语赚点儿钱。不久,阿贝尔幸运地被推荐到军事学院教授力学和理论天文学,薪水虽然不是很多,却可让他继续从事椭圆函数研究。不过阿贝尔的身体越来越衰弱。 1828 年夏,他一直生病,发烧咳嗽,人也变得消沉下来,感到前途暗淡无光,而且无法摆脱养活家人的负担:他们一直纠缠着他,弄得他一无所有。可直到生命最后他也从未说过一句不耐烦的话。

1828 年冬,挪威天气很冷,阿贝尔穿上了所有衣服,可还是感觉冷。他不停地咳嗽、发抖,但在朋友面前仍装作若无其事,而且常开玩笑,以掩饰其身体不适。

1829 年4 月6 日,阿贝尔离开了人世,身边只有其未婚妻克里斯汀。令人惋惜的是,阿贝尔死后两天,聘任其为柏林大学数学教授的聘书寄到了。

阿贝尔在五次方程和椭圆函数研究方面远远地走在当时研究水平的前面,法国数学家埃尔米特曾感叹:“阿贝尔所留下的思想,可供数学家们工作150 年。”

勒让德晚年忙于撰写其椭圆函数巨著。在1832 年完成后,他送给德国的克雷尔修正,并在附信中写道:“你会看到,利用阿贝尔漂亮的定理,我已成功创造了一门新的数学理论——我称之为超椭圆函数论。其比椭圆函数更一般,可二者却有着密切关系。我感到很高兴的是,能用之来说明阿贝尔所发现卓越定理的价值,以表示对阿贝尔天才的尊敬,该定理或可说是阿贝尔的纪念碑。”

德国数学家雅可比(Carl Gustav Jacob Jacobi,1804—1851)不同意勒让德的超椭圆函数论命名,称之为阿贝尔函数论(Theory of Abelian Functions),因这类函数是阿贝尔第一次引进分析学。他认为:“阿贝尔定理以没有计算的简单形式,表达了最深入和效果远大的数学思想。这是我们这个时代最伟大的数学发现,只有靠以后深入的研究,可能还需要一些时间,才可以完全明了其所包含的重要理论意义。”

为纪念天才数学家阿贝尔200 周年诞辰,挪威财政部在2003 年初拨款2 亿挪威克郎(约合2 200 万美元)设立了阿贝尔纪念基金,基金的收益用作阿贝尔奖的奖金以及阿贝尔奖颁奖典礼和青少年数学教育活动的费用。

数学怪兽阿贝尔：一个英雄的征服之旅

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