在恩斯特·库默尔的工作之后，发现费马大定理证明的希望比以前更渺茫了，人们开始怀疑这个问题是不可能解决的，或许费马本来就是自己骗自己，没有人重新发现费马的证明就是因为根本不存在这样的证明，数学家纷纷转向其他不同的研究领域，新一代的数学家也极力避免那些似乎不可能解决、进入死胡同的危险，到20世纪初，这个问题虽然依然在数论家的心目中占有特殊的地位，但是他们对待费马大定理就像化学家对待炼金术一样，他们仿佛......
2023-11-19
费马的解析几何思想的贡献
【摘要】：1629 年所撰写的《平面和立体的轨迹引论》表明,费马找到了研究曲线问题的普遍方法。图1.4.1费马图1.4.2阿波罗尼奥斯费马几乎是把阿波罗尼奥斯的结果直接翻译成代数形式。虽然笛卡儿和费马都研究了解析几何,但他们的基本思想、研究目的和研究方法却有着差异。费马主要是继承古希腊几何学思想,未能完全摆脱阿波罗尼奥斯静态研究几何曲线的影响。虽用方程表示曲线之思想在费马的研究中较为明显,但真正发现代数方法之威力者应是笛卡儿。
费马出身于商人家庭,有幸接受了良好教育并当上了图卢兹大法官。 为了不受社会动荡时期政治风波之影响,费马将业余时间全都用于闭门读书,后来被称为“业余数学家之王”。 他只对创立新的数学定理所带来的那种愉悦感到满足。 解析几何、微积分、概率论和数论,不管是哪个数学分支的成就,都可使费马在数学殿堂占有一席之地。
对曲线问题的研究始于古希腊几何学家阿波罗尼奥斯,但阿波罗尼奥斯的《论平面轨迹》久已失传,费马是该书的复原者之一。 他用代数方法来研究曲线,试图开展关于轨迹的一般研究。 1629 年所撰写的《平面和立体的轨迹引论》表明,费马找到了研究曲线问题的普遍方法。
图1.4.1 费马
(www.chuimin.cn)
图1.4.2 阿波罗尼奥斯
费马几乎是把阿波罗尼奥斯的结果直接翻译成代数形式。 曲线上任意点J 的位置可由一个数对A 和E 确定:A 是从原点O 沿底线到点Z 之距,E 是从Z 到J 的距离。 易见其A 和E 就相当于现在的坐标x 和y。 后来费马还应用了直角坐标系,甚至领悟到坐标轴可以平移和旋转,故而给出一些较为复杂二次方程的简化形式。
虽然笛卡儿和费马都研究了解析几何,但他们的基本思想、研究目的和研究方法却有着差异。 费马主要是继承古希腊几何学思想,未能完全摆脱阿波罗尼奥斯静态研究几何曲线的影响。 而笛卡儿则是从批评古希腊传统出发,其《几何学》与传统方法大相径庭。 虽用方程表示曲线之思想在费马的研究中较为明显,但真正发现代数方法之威力者应是笛卡儿。 笛卡儿旨在寻求发现真理的一般方法,主张“汲取几何学和代数学中一切最好的东西,互相取长补短”。
解析几何像一座桥梁,使得两个原来彼此隔绝的领域即几何学与代数学实现了和谐统一,互相吸取了新鲜活力:既可使几何目的通过代数达到,又可给代数概念以几何解释。由于解析几何方法在解决各类问题中的普遍适用性,现已成为几何研究的基本方法之一。 至19 世纪80 年代,古典解析几何已发展完备,后逐步向向量分析、向量代数方向发展。
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2023-11-23
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