数学故事：笛卡尔解析几何思想

2023-11-23 理论教育版权反馈

【摘要】：1619 年11 月10 日,善思的笛卡儿陷入了人生“该走哪条道路”的思索之中,当晚他做了3 个连续的梦。笛卡儿对当时几何学和代数学的研究方法进行了较为详尽的分析和比较。笛卡儿的出发点是帕波斯问题,该问题是求与空间若干条直线具有某种确定关系点的轨迹。在《几何学》第3 卷中,笛卡儿给出了坐标系的例子。一切伟大的科学家都具有质疑精神,笛卡儿的解析几何思想就源于质疑。

笛卡儿是杰出的近代哲学家、近代生物学奠基人、一流物理学家,亦偶然成为数学家。所谓偶然是因其创立解析几何是受梦境的启示。 1619 年11 月10 日,善思的笛卡儿陷入了人生“该走哪条道路”的思索之中,当晚他做了3 个连续的梦。笛卡儿将这些梦理解为一种启示,即其研究应据数学原理将所有知识系统统一起来,从此他便开始寻找揭开宇宙奥秘并展示科学统一的方法。

1637 年6 月8 日,笛卡儿出版了《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》(简称《方法论》),揭示了正确运用理性和追求真理的方法论。该书有3 个附录:《折光学》《气象学》和《几何学》。在《几何学》中,笛卡儿创立了解析几何。《几何学》分为3 卷:第1 卷讨论尺规作图问题;第2 卷主要论证曲线性质;第3 卷为立体和超立体作图,主要探讨方程根的性质。

笛卡儿从三个不同途径研究数学:从哲学角度研究数学,把数学方法看作在一切科学领域建立真理的基础;从自然科学角度研究数学,广泛研究了力学、静力学、光学和生物学等,其《几何学》就有一部分研究了光学;从数学应用角度研究数学,致力于寻找数学的应用价值,这迥别于古希腊学者,因其注意到数学科学的巨大力量。

笛卡儿对当时几何学和代数学的研究方法进行了较为详尽的分析和比较。虽然几何图形的直观性易于展示某些事物的性质,但他认为“古人的几何学”只限于形相,尤其对欧几里得几何的每个证明都要求某种奇巧想法而深感不安。他创立解析几何的宗旨为:

我决心放弃那个仅仅是抽象结果的几何(指欧几里得几何),即不再去考虑那些仅仅是用来练习思想的问题。这样做是为了研究另一种几何(指解析几何),其根本目的是解释自然现象。

当时代数还是一门新兴学科,几何学思维在数学家头脑中占有牢固的统治地位。笛卡儿看到了代数学具有作为普遍科学方法的潜力,认识到其程序机械化和减小工作量之价值。他认为当时的代数学严重受到了公式和法则之束缚,完全不像一门改进思想的科学,故从自然哲学高度提出,必须把几何与代数结合起来,建立一种“真正的数学”。他对几何学、代数学进行了有机融合,从而创立了解析几何。笛卡儿这一创举开拓了变量数学的广阔领域,使数学在思想方法上由常量数学进入到变量数学时期。(www.chuimin.cn)

最初笛卡儿是仿照韦达用代数解决几何作图题,后来才逐渐用方程表示曲线。笛卡儿的出发点是帕波斯问题,该问题是求与空间若干条直线具有某种确定关系点的轨迹。在《几何学》第2 卷中,笛卡儿证明了4 线问题的帕波斯结论,其做法实际上建立起了数学史上第一个斜坐标系,虽然图形只在第一象限内,但这是一个了不起的创举。

在《几何学》第3 卷中,笛卡儿给出了坐标系的例子。有了坐标系和曲线方程的思想,笛卡儿又提出了一系列新颖想法,进一步发展了其解析几何思想:曲线次数与坐标轴选择无关,坐标轴选取应使曲线方程尽量简单,同坐标系内的两曲线方程联立可解出其交点,能否以尺规画出不是曲线是否存在的判别标准,并给出了曲线的分类等。

概言之,笛卡儿解析几何思想有两个基本观点:一是坐标观念,用坐标表示点的位置,从而把坐标通过点动成线具体运用到曲线方程的建立上;二是把包括互相关联的两个变数的任意代数方程,看成平面上的一条曲线。这样运动就进入了数学,从而为微积分的产生奠定了理论基础。

一切伟大的科学家都具有质疑精神,笛卡儿的解析几何思想就源于质疑。只有质疑,才能提出问题,才能展开观察、实验和逻辑分析。若不怀疑地心说,就没有太阳中心说;若不怀疑牛顿力学,就没有爱因斯坦的相对论。当然一无所知者是不会怀疑任何事物的,要在学习的基础上质疑。

数学故事：笛卡尔解析几何思想

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