刘徽与《九章算术》：数学家的故事

2023-11-23 理论教育版权反馈

【摘要】：图1.1.3邮票上的刘徽图1.1.4隶首造数《九章算术》的历史贡献分数、负数、无理数、比例、方程、面积诸多数学知识皆可在《九章算术》中找到源头。后世数学家多从《九章算术》开始研究数学。在唐宋两朝,《九章算术》皆由国家明令规定为教科书。《九章算术》早在隋唐时期已传入朝鲜、日本。现在《九章算术》已被译成英、日、俄、德、法等多种文字。

(1)《九章算术》的由来

“算术”这一术语在中国古代长期用来表示数学的全部内容。尽管中国第一部数学著作是《算术书》(成书于公元前2 世纪初),但《九章算术》为传世的《算经十书》中最重要的一种,约成书于公元1 世纪,是古代中国乃至东方第一部自成体系的数学著述。《九章算术》的作者现已无法考证,一般认为是经历代各家的增补修订而逐渐成书,可谓凝聚了我国古代人民的集体智慧。据刘徽记载,西汉的张苍、耿寿昌等曾对《九章算术》做过增补和整理,那时大体已形成定本,故可推测其成书最迟在东汉前期,即约在公元1 世纪的下半叶。现流传的多是三国时期魏元帝景元四年(263 年)刘徽作注的版本,刘徽在序中给出了《九章算术》的由来:

昔在包牺氏始画八卦,以通神明之德,以类万物之情,作九九之数,以合六爻之变。暨于黄帝神而化之,引而伸之,于是建历纪,协律吕,用稽道原,然后两仪四象精微之气可得而效焉。记称隶首做数,其详未之闻也。按周公制礼而有九数,九数之流,则《九章》是矣。

刘徽的大意为:相传远古时代的包牺氏(神话传说人物伏羲,女娲之夫)最先创造出八卦,并以此来研究天体轨道变化规律,推算世间万物的发生和发展。他又创造出算术运算法则,以便配合六爻(将三枚铜钱合掌摇晃后放入卦盘,掷六次而成卦,为借用组合进行占卜之法)的各种变化。此后进行了推广和延伸,造历法,调音律(数学和音乐是相通的),以探索天地间万物之本原,故而两仪、四象间的精髓可以得到验证。据记载黄帝史官隶首创造了数,但我未曾闻其详。周成王的辅佐大臣周公制定《周礼》时就有九数,由九数进一步发展就有了《九章算术》。

关于《周礼》中的“九数”,《周礼·地官司徒·保氏》云:“保氏掌谏王恶而养国子以道,乃教之六艺:一曰五礼,二曰六乐,三曰五射,四曰五御,五曰六书,六曰九数。”中国古代教育必学礼、乐、射、御、书、数六门功课,“九数”指“数”学有九个细目,但《周礼》并未列出。东汉郑玄在《周礼注疏·地官司徒·保氏》中引郑司农(郑众)言:“九数:方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、方程、盈不足、旁要;今有重差、夕桀、勾股也。”可见中国数学研究源远流长,甚至据传早在公元前21世纪大禹治水时就用到了勾股定理。

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图1.1.3　邮票上的刘徽

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图1.1.4　隶首造数

(2)《九章算术》的历史贡献

分数、负数、无理数、比例、方程、面积诸多数学知识皆可在《九章算术》中找到源头。《九章算术》汇集了中国先秦至汉代的数学成就,是中国数学体系确立与数学特点形成的标志。全书采用问题集形式而分为九章,即方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股,共收录了246 道数学问题,大多数问题源于生产实践和现实生活。其中有202 道题由问(问题)、答(答案)、术(解题方法或过程)三个部分组成。 “术”一般放在同类性质题目之后,可谓之解题方法或运算法则,不仅隐含着数量关系式,而且指明了进行各种具体运算的步骤,包含了我国古代数学的思想、方法、算法、法则、定理和公式等。在没有印度-阿拉伯数字、没有数学符号、没有英文(拉丁)字母的时代,我们的祖先用算筹和方块字就能出色表述复杂的数学问题,这在今天几乎难以想象。(www.chuimin.cn)

后世数学家多从《九章算术》开始研究数学。在唐宋两朝,《九章算术》皆由国家明令规定为教科书。北宋时期(1084)该书还曾由政府刊刻,这是世界上最早的印刷本数学书籍。《九章算术》早在隋唐时期已传入朝鲜、日本。书中不少著名问题曾传入印度、阿拉伯,甚至辗转传入欧洲,其盈不足术传入欧洲后曾长期占支配地位。现在《九章算术》已被译成英、日、俄、德、法等多种文字。

《九章算术》的许多内容领先于世界:最早系统叙述了分数运算;盈不足算法更是令人称奇的创造;给出了线性方程组的解法;最早提出了负数概念及正负数加减法法则;由开方术轻松给出无理数概念,而不像在西方无理数引发了第一次数学危机等。而刘徽的注释则使之更上一层楼,其中的割圆术和体积理论等皆可看作独立的数学论著。

(3)刘徽与数学之树

刘徽的生平、籍贯无可靠的记载。据当代数学史家郭书春考证,刘徽的籍贯是淄乡,属今山东省邹平县。齐鲁地区自先秦至魏晋是中国文化最发达的地区之一。汉末至晋初,齐鲁地区形成了一个以刘洪、郑玄、徐岳、刘徽为骨干的数学研究中心,刘徽的《九章算术注》集其大成,并把中国数学提高到前所未有的高度。

近代数学家常把数学描绘成一棵树,郭书春认为刘徽已有数学之树思想:

事类相推,各有攸归,故枝条虽分而同本知,发其一端而已。又所析理以辞,解体用图,庶亦约而能周,通而不黩,览之者思过半矣……虽曰九数,其能穷纤入微,探测无方。至于以法相传,亦犹规矩度量可得而共,非特难也。

大意为:事物虽有类别不同,但每类各有所属,犹如树木一样,虽然枝杈繁多,但都属于同一主干。用文辞语句分析相关理论,用图形诠释其形体结构,则可使得相关数学理论简明周全且通顺自然,让读者能够读懂其中大部分内容……虽称为“九数”,但其可深入探究天地间万物之本原。自古以来就有学习数学的方法,就像规矩和度量一样有法可循,因而学习九数并非难事。

这里规矩代表空间形式,度量代表数量关系,即数学是客观世界的空间形式和数量关系的统一,所以规矩和度量可看成刘徽数学之树的根。这反映了中国古代数学数形结合即几何与算术、代数相融合的特点。刘徽数学之树从规矩、度量两条根生长出来,而统一于数,故产生了数量运算。

现代数学可分为两大思想体系——《几何原本》创立的逻辑演绎体系和《九章算术》创立的机械化算法体系,故二者同为世界数学发展之源。著名数学家吴文俊(1919—2017)说:“从对数学贡献的角度衡量,刘徽应与欧几里得、阿基米德相提并论。”

刘徽与《九章算术》：数学家的故事

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