模糊聚类分析在环境监测中的应用

2023-11-23 理论教育版权反馈

【摘要】：模糊数学已在环境科学领域中得到了应用，如在环境评价、环境污染物分类、环境区域划分等方面，用模糊数学方法进行数据处理，结果与实际更接近、更可信。本节简单介绍环境监测数据的模糊综合评价和聚类分析。水质污染程度是一个模糊概念，水质分类标准也是模糊的，用隶属度来描述分类界线较为合理。

模糊数学已在环境科学领域中得到了应用，如在环境评价、环境污染物分类、环境区域划分等方面，用模糊数学方法进行数据处理，结果与实际更接近、更可信。

模糊数学是用数学方法来解决一些模糊问题。所谓模糊问题是指界限不清或隶属关系不明确的问题，而环境评价中“污染程度”的界限就是模糊的，人为地用特定的分级标准去评价环境污染程度是不确切的。如评价河流污染时，用内梅罗公式计算总污染指数I，把I≤1作为一级轻污染河水的指标，若实际情况是I＝1.02，则算作二级污染河水，这完全是人为的规定；若改用隶属度表示，则可认为当I＝1.0时，河水隶属于一级轻污染河水的程度达到100％，而当I＝1.02时，河水隶属于一级轻污染河水的程度只达到98％，相应地认为该河水隶属于二级污染河水的程度为2％。采用隶属度的概念来表达客观事物是模糊数学的基点，由此可以去研究众多模糊问题。本节简单介绍环境监测数据的模糊综合评价和聚类分析。

（一）模糊综合评价的基本知识

1.模糊子集和隶属函数

在集合论中，把具有某种特定属性的对象的全体称为集合，而集合里所含有的个体，叫作集合的元素。又把所讨论的全体对象称为论域，以u或v表示；论域中的元素以相应的ui、vi（i＝1，2，⋯，n）表示。给定论域u中的某一部分元素的全体称为u上的一个集合，常以A、B表示。在思维中每个概念都有一定的外延与内涵。外延是指适合于某个概念的一切对象，而内涵则是指外延包括的一切对象所具有的本质属性。显然，内涵就是集合的定义，而外延则是组成该集合的所有元素，模糊概念没有明确的内涵和外延。例如：清洁和污染等，它们对应的是模糊集合，记为、等。

一个普通集合A，元素x与A的关系只能有x∈A或xA，这种集合可以用特征函数来描述，即定义：

在描述一个模糊集合时，可以在普通集合基础上把特征函数取｛0，1｝两值扩大到[0，1]区间上连续取值，这就能借助于经典数学定量地描述模糊集合。取值在[0，1]上的模糊集合的特征函数为隶属函数，记为（x）。（x）的值表示了元素x隶属于模糊集合的程度：（x）＝0，表示；（x）的值接近于1，表示x隶属于的程度很高。

2.模糊集合的运算

对于一个普通集合的基本运算有：并、交、补、包含关系等，但模糊集合的基本运算有所不同，由于模糊集合用隶属函数来表征，因此可用隶属函数运算来定义模糊集合的运算。

（1）若（x）＝（x），则称＝

（2）若（x）＝0，则称为空模糊集合，记作∅；若（x）＝1，则称为全集。

（3）若（x）≤（x），则称包含，记为

模糊集合的基本运算有并、交、补等。

设有两个模糊集合、，它们的并集为，交集为，其隶属函数分别为：

其中，∨、∧分别表示取大值和取小值运算，即将两端较大的值和较小的值作为运算结果。

模糊集合的补集的隶属函数为：

3.模糊矩阵运算

模糊矩阵运算与普通矩阵运算不同，模糊矩阵仍用大写字母下加浪纹号表示，模糊矩阵的一般形式为：

其中0≤aij≤1，i＝1，2，⋯，m；j＝1，2，⋯，n。

对于两个模糊矩阵＝[aij]和＝[bij]，若有

cij＝max（aij，bij）＝aij∨bij

则称＝[cij]为和的并，记为＝∪。

同样，若有

cij＝min（aij，bij＝aij∧bij

则称＝[cij]为和的交，记为＝∩。

若有

则称＝[cij]为和的乘积，记为＝·。

的补矩阵为：

例如：若有

则

对于论域u上的模糊集合和，则称

分别为与的内积和外积。在此基础上，称由下式

所确定的数为和的贴近度，记为（，），其值是[0，1]上的一个数。

（二）模糊综合评价

已知某因子集u＝（u1，u2，⋯，un），其中，元素ui（i＝1，2，⋯，n）为影响评价对象的各个因子，通常各因子的重要程度不一样，因此，对每个因子ui赋予一个相应的权重ai（i＝1，2，⋯，n）构成权重集：

且，a ≥0（i＝1，2，⋯，n）。

由于ai可称为因子ui“重要”的隶属度，因此，权重集为因子集u上的一个模糊子集。

又设普通评价集：

V＝（V1，V2，⋯，Vm）

元素Vj（j＝1，2，⋯，m）为各种可能的评价结果，可以是模糊的，也可以是非模糊的，但它们对V的关系是明确的。

从一个因子ui出发进行评价，以确定评价对象对评价集元素Vj的隶属度rij （j＝1，2，⋯，m），称为单因子模糊评价。对第i个因子ui评价的结果称为单因子模糊评价集：

它是V上的一个模糊子集，于是可得到相应于每个因子的单因子模糊评价集：

将各单因子模糊评价集的隶属度为行组成单因子模糊评价矩阵：

显然，单因子模糊评价仅反映一个因子对评价对象的影响，而未反映所有因子的综合影响，也就不能得出综合的评价结果。因此，必须综合考虑所有因子的影响，这便是模糊综合评价。模糊综合评价集是V上的模糊子集，可表示为：

其中，（j＝1，2，⋯，m）称为评价指标，它是综合考虑所有因子的影响时，评判对象对评价集中第j个元素的隶属度。

显然，的第i行表示第i个因子影响评价对象取各个评价元素的程度；第列表示所有因子影响评价对象取第j个评价元素的程度。因此，每列元素再乘以相应因子的权重ai（i＝1，2，⋯，n），更为合理地反映所有因素的综合影响。

[例]应用模糊综合评价法，对某河流水质作现状评价。

解：（1）建立因子集。根据《地表水环境质量标准》（GB 3838—2002）的有关规定，确定水质影响因素共五项，即因子集为：

u＝（DO，BOD5，IMn，挥发酚，氰化物）

（2）建立评价集。《地表水环境质量标准》把河流按功能高低分为五类，如下表。因此，评价集V＝（Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ）。

（3）建立隶属函数。水质污染程度是一个模糊概念，水质分类标准也是模糊的，用隶属度来描述分类界线较为合理。如根据上表中DO的五类标准，作出DO对5个类别的隶属函数，即

DO—Ⅰ类

DO—Ⅱ类

DO—Ⅲ类

DO—Ⅳ类

DO—Ⅴ类

同样，根据BOD5的五类标准，作出BOD5对于5个类别的隶属函数，即

BOD5—Ⅰ类

BOD5—Ⅱ类

BOD5—Ⅲ类

BOD5—Ⅳ类(www.chuimin.cn)

BOD5—Ⅴ类

类似地作出IMn、挥发酚和氰化物的隶属函数（略）。

（4）单因子模糊评价。将实际监测数值，如DO＝2.69mg/L、BOD5＝2.5mg/L代入相应的隶属函数，计算其隶属度为：

DO：uⅠ（2.69）＝0，uⅡ（2.69）＝0，uⅢ（2.69）＝0，uⅣ（2.69）＝0.69，uv（2.69）＝0.31

BOD5：uⅠ（2.5）＝1，uⅡ（2.5）＝0，uⅢ（2.5）＝0，uⅣ（2.5）＝0，uv（2.5）＝0

类似地计算出IMn、挥发酚和氰化物的隶属度。

由此得到单因子模糊评价矩阵为：

其中，第一行表示因子集u中第一个因子DO对5个类别的隶属度，即水质就DO而言，隶属于Ⅳ类的程度为0.69，隶属于Ⅴ类的程度为0.31，其余均为0；第一列表示u中5个因子分别对于Ⅰ类的隶属度。

（5）建立权重集。由于DO、BOD5等污染物对水质影响程度不同，因此，对它们应赋予不同的权重ai。确定权重有许多方法，以污染物的超标情况确定权重较为合理，其计算式为：

注意：对于DO，其权重取上式的倒数。

式中：

ai、ρi、ρs，i分别为第i种污染物的权重、质量浓度实测值和多级质量浓度标准值的平均值，ρs，ij为第i种污染物第j级质量浓度标准值，m为级别数。

为了进行模糊复合运算，各单因子权重必须归一化，即

应用上述方法确定本例的权重集为：

＝（0.36，0.10，0.27，0.03，0.24）

（6）模糊综合评价。

＝（0.10，0.24，0.24，0.36，0.31）

对该河流的模糊综合评价只是V上的模糊子集，矩阵中各元素是对应于集合V上的各项的隶属度，即对Ⅰ类的隶属度为0.10，对Ⅱ类为0.24，对Ⅲ类为0.24，对Ⅳ类为0.36和对Ⅴ类为0.31，由于对Ⅳ类和Ⅴ类隶属度较大，故该河流水质认为处于Ⅳ类和Ⅴ类之间。

（三）模糊聚类分析

模糊聚类分析属于多元分析，用数学方法定量地确定被分类对象之间亲疏关系，从而客观地分型划类。模糊聚类分析可以分为两大部分：标定，即在被分类的全体对象之间建立一定的亲疏关系；分类，即以模糊等价关系进行分类。

描述样品的亲疏程度通常有两种途径：一种是把每个样品看成m维空间中的一个点，在点与点之间定义某种距离；另一种是用某种相似系数来描述样品间的亲疏关系。

1.距离和相似系数

设有n个样品，x1，x2，⋯，xn，每个样品都具有m个特性指标，用xij表示第i个样品的第j个特性指标，于是可得n个样品的观测数据矩阵：

其中n为样品数，m为变量（特性指标）数，记xi＝（xi1，xi2，⋯，xim）。

为了刻画样品之间的接近程度，引入较为广义的距离概念。用dij表示第i个样品xi与第j个样品xj之间的距离，一般要求dij满足条件：①dj≥0且dii＝0；②dij＝dji；③dii≤dik＋dkj对一切i、j）。

常用的距离有：

（1）汉明距离。

（2）欧氏距离。

（3）切比雪夫距离。

常用的相似系数有：

（1）夹角余弦。

（2）相关系数。

式中：——第i个样品各指标经标准化处理后的平均值。

（3）最大最小法。

（4）绝对值减数法。

使c取值满足0≤rij≤1。

在作环境质量分级时，究竟选择上述多种计算式中哪一种为好，不能一概而论，应根据实际情况选取。但是，选取的方法将直接影响分类结果。因而通常的做法是同时选取n种方法计算，最后看分类与实际吻合的情况，择优选取。

2.模糊等价关系

所谓模糊等价关系是指在给定论域u＝（u1，u2，⋯，un）上一个模糊关系，其相应的模糊矩阵记为＝[rij]n×n，如果矩阵满足：自反性，rii＝1；对称性，rij＝rji；传递性，○。则称模糊矩阵是一个模糊等价矩阵，以表示，其相应的关系称为模糊等价关系。

通常应用相似系数或距离方法建立起来的模糊矩阵，只能满足自反性和对称性，而不能满足传递性。该方法是作模糊矩阵的合成运算：→→→⋯→，当＝时，则便是模糊等价矩阵。

（四）模糊等价矩阵的截矩阵

模糊等价矩阵＝[rij]的λ截矩阵＝[]是一个布尔矩阵，其中：

显然，λ的值不同，其相应的截矩阵亦不同，由此而产生不同的分类数目。

[例]对某地遭受污染的河流进行水质监测。分别取5个断面的水样进行分析，各项监测指标的超标倍数列于下表，试用模糊等价关系进行分类。

解：写成样品的观测数据矩阵：

按绝对值减数法计算模糊关系，取c＝0.1得：

r11＝r22＝⋯＝r55＝1

r12＝1－0.1（|x11－x21|＋|x12－x22|＋|x13－x23|＋|x14－x24|）＝1－0.1（|5－2|＋|5－3|＋|3－4|＋|2－5|）＝0.1

同理可得r13＝0.8，⋯，r54＝0.6。

由此得到模糊关系：

显然满足自反性、对称性，但不满足传递性。

可以验证＝○＝，故＝为模糊等价关系。

若取λ＝0.5得：

从而得分类结果：｛x1，x3，x4，x5｝，｛x2｝两类。

取λ＝0.8得：

从而得分类结果：｛x1，x3｝，｛x2｝，｛x4｝，｛x5｝四类。

取λ＝1得：

从而得分类结果：｛x1｝，｛x2｝，｛x3｝，｛x4｝，｛x5｝五类。

由此得动态聚类图：

模糊聚类分析在环境监测中的应用

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