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光学系统设计中的位相误差校正

【摘要】:但是,单边干涉带来的位相误差问题是不可忽视的,必须设法予以校正。具体可以采用如下做法:在进行单边干涉采样时,采样的起点位于原点左边一小段距离-Δ,采样的终点照常位于右边最大光程差L为止;这样做显然会牺牲一些光程差范围,但能够换来位相误差校正的数据也是值得的。即实际的傅里叶变换光谱是通过下式进行校正的其中通过以上分析已经可以看出,对于真正的双边干涉采样来说,我们根本无须做那么多的位相误差修正工作。

傅里叶变换光谱仪中,获取并建立对称性的双边干涉数据是实现快速傅里叶变换(FFT)的必要条件之一。然而,无论是在时间调制干涉型还是在空间调制干涉型的傅里叶变换光谱仪中基本都采用了单边干涉采样方式,然后再把单边数据人为地扩展为双边数据。这样做的优点主要有:在时间调制干涉系统中,在相同的光谱分辨率和相同的单元感光时间条件下,单边干涉系统获取每套干涉图的速度比双边干涉系统高一倍;反过来在工作速度相同的条件下,单边干涉系统的探测单元感光时间比双边干涉系统提高一倍。而在空间调制干涉系统中,在相同的光谱分辨率的条件下,单边干涉系统可以有效提高接收传感器的表面光照度,或者有效提高扫描速度。总之,单边干涉采样可以充分利用傅里叶变换光谱仪的性能优势。

但是,单边干涉带来的位相误差问题是不可忽视的,必须设法予以校正。事实上,在单边干涉系统的光谱反演中,总是默认干涉图的采样是从零光程差位置开始的,因此实质上计算的是如下的傅里叶变换积分

可以看出在式(6-59)的积分中零光程差的位置是非常重要的。如果零光程差的位置产生了误差ε,那么就相当于整个干涉图相对于我们希望进行变换的干涉图漂移了一个位移量ε,因此干涉图的傅里叶变换即重建光谱也将产生误差。由于这样的位移导致的重建谱误差可以用一个位相函数exp(jφν)来表达,称之为位相误差。

事实上,在单边干涉系统中,光程差的位置误差ε总是存在的,而且该位置误差ε与被测光的波长或波数有关。假设光程差漂移可以用νε来表示,参照干涉分布与光谱分布的基本关系式,干涉分布的计算实际是按照如下积分进行的

式(6-61)表明,原点误差的存在使得干涉图变成两部分之和,其中一部分为偶函数的傅里叶变换,其变换结果只存在实数部分;但另一部分为非偶函数的傅里叶变换,其变换结果是包含虚部的。因此对于单边采样获得的包含原点误差的干涉图进行对称化处理之后,其光谱重建的傅里叶变换必然包含复数项,即

式中,Re(ν)和Im(ν)分别代表傅里叶变换的实部和虚部。

假如上述I′(l)可以通过真正的双边采样获得,则其振幅谱就是所需要的原始光谱

并且还可以求出其位相角

振幅谱与复光谱之间的关系为

反过来,即(www.chuimin.cn)

因此,解决问题的关键是首先根据式(6-62)计算出带原点误差的光谱分布B ′(ν),然后设法从不带原点误差的数据中根据式(6-64)建立位相角分布θν,最后再根据式(6-66)进行位相校正,结果就可以得到正确的光谱分布B(ν) 。

具体可以采用如下做法:在进行单边干涉采样时,采样的起点位于原点左边一小段距离-Δ,采样的终点照常位于右边最大光程差L为止;这样做显然会牺牲一些光程差范围,但能够换来位相误差校正的数据也是值得的。然后对 -Δ到 +Δ这段光程差范围的双边干涉图进行傅里叶变换,其零点位置是未知的。由于该变换是针对非对称干涉图进行的,因此也存在实部和虚部,设变换光谱为

由实部和虚部可以计算位相角

在实际操作中,根据式(6-68)计算得到的νθ是一组按照波数ν分布的实数序列,其密度还有待增加。由于νθ的变化是缓慢的,因此可以通过插值获得足够密度的νθ,并且将该νθ用于0~L范围内非对称干涉图的傅里叶变换光谱的位相修正。

即实际的傅里叶变换光谱是通过下式进行校正的

其中

通过以上分析已经可以看出,对于真正的双边干涉采样来说,我们根本无须做那么多的位相误差修正工作。事实上,设双边采样范围为 -L~+ L,即使干涉图的原点不能确定,仍然可以计算原点漂移的干涉分布l′(I )的傅里叶光谱

假设I ′(l)=I(l-ε),其中I(l)是不含原点误差的干涉分布,则由傅里叶变换的平移性质得

式(6-72)中的复振幅B(ν) 其实就是无位相误差情况下的重建谱;它的模就是光谱分布,并且可以由B′(ν) 的实部和虚部计算,即

式(6-73)表明,在双边干涉条件下,即使没有关于原点的精确信息,我们也可以从漂移了的干涉图中得到准确的重建谱。