线性不变系统频域描述-傅里叶光学原理

2023-11-23 理论教育版权反馈

【摘要】：设输入函数g、输出函数和系统脉冲响应函数的傅里叶变换分别为G、ε和H，即对系统物像关系的空域表示式两边做傅里叶变换，并应用傅里叶变换的卷积定理，立即可以得出在空间频率域中，线性不变系统的输入、输出关系式为上式说明，线性空间不变系统的输入、输出关系，可以用式的空间域卷积关系来描述，也可以用式的频域相乘关系来描述，即输出函数的频谱等于输入函数频谱与系统脉冲响应函数频谱的乘积。

设输入函数g(x ,y)、输出函数和系统脉冲响应函数的傅里叶变换分别为G(fξ ,fη)、ε(fξ ,fη)和H(fξ ,fη)，即

对系统物像关系的空域表示式（3-12）两边做傅里叶变换，并应用傅里叶变换的卷积定理，立即可以得出在空间频率域(fξ ,fη)中，线性不变系统的输入、输出关系式为

上式说明，线性空间不变系统的输入、输出关系，可以用式（3-12）的空间域卷积关系来描述，也可以用式（3-16）的频域相乘关系来描述，即输出函数的频谱等于输入函数频谱与系统脉冲响应函数频谱的乘积。(www.chuimin.cn)

上述两种分析方法，虽然在描述线性不变系统的输入、输出关系上是等价的，但在运算流程和物理意义上却明显不同。首先，式（3-12）是在空间域描述系统输入、输出关系，通过卷积运算直接得出输出函数的空间分布。而式（3-16）则给出了系统输入、输出函数在空间频率域的关系，要从输入函数出发计算输出函数，必须经历三个中间步骤：第一步，对输入函数做傅里叶变换，求得输入函数的频谱。第二步，通过频率域的相乘运算，求得输出函数的频谱。第三步，对输出函数频谱做傅里叶逆变换，求出输出函数的空间分布。频域的运算看似步骤烦琐，但应用前节介绍的光学模拟计算，整个计算过程实则比空域的卷积运算更为简单快捷。其次，空域的描述是以对输入函数进行点基元函数分解为基础，然而点基元输入函数的像并不是点基元，而是系统的脉冲响应函数。这就是说，在对线性不变系统的空间域描述中，输入面上的基元函数与输出面上的基元函数不是一一对应的，输出面上任意一个像点的光振幅或光强，不仅有来自对应“物点”的贡献，而且有来自周围其他“物点”的贡献，因而，只能用卷积关系描述。频域的描述方法则不同，从式（3-13）和式（3-14）可知，输入函数g(x,y)和输出函数E(x′, y′)都可以分解为一系列平面波基元函数的线性叠加，即

从上面公式可以看出，输入平面和输出平面具有相同的形式为的基元函数，输入函数的频谱G(fξ ,fη)可看作是空间频率为(fξ ,fη)的平面波基元成分的复振幅密度，而输出函数频谱ε(fξ ,fη)则表示传到输出面的同一平面波基元成分的复振幅密度。因此，输出函数频谱相对于输入函数频谱的变化就完全反映了系统的性能。

线性不变系统频域描述-傅里叶光学原理

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