傅里叶光学原理与系统设计：线性空间不变系统与卷积

2023-11-23 理论教育版权反馈

【摘要】：于是，式（3-8）表示的系统输入、输出关系可以改写为如果对系统进行归一化处理，使系统横向放大率M＝1[1]，则线性空间不变系统的脉冲响应函数可以写作，式（3-8）表示的线性系统输入、输出关系还可以进一步简化为上面的分析表明，如果在空间域描述一个线性空间不变系统，它的输入、输出关系符合式的卷积运算；也就是说，线性空间不变系统的输出函数等于输入函数和原点脉冲响应函数的卷积。

当一个二维空间系统的输入函数发生移动时，如果其输出函数的形式不变，只是伴随着一个相应的移动，该系统称为空间不变系统。如果一个系统既满足线性性，又满足空间不变性，则称该系统为线性空间不变系统。理想光学成像系统可看作是线性空间不变系统，它符合点对点成像关系。实际的光学成像系统，由于成像原理和像差的存在，一般来说不具有严格的空间不变性。但是只要系统的像差等影响因素具有连续缓慢变化的性质，就可以把物平面划分为一系列等晕区，并认为在每一个等晕区内空间不变性是近似成立的。原则上，为了正确地描述系统的物像关系，需要给出每一块等晕区的脉冲响应函数，但是，当实际成像系统满足旁轴条件，只考虑轴上等晕区也就足够了，即是说，可以用物平面上原点的脉冲响应函数代表整个线形空间不变系统的脉冲响应函数。

从上面的分析可知，线性空间不变系统的脉冲响应函数并不直接依赖于物点的坐标(x ,y)，而只依赖于距离(x -x0)和(y -y0)，所以系统的脉冲响应函数可以表示为

其中

表示系统的横向放大率。于是，式（3-8）表示的系统输入、输出关系可以改写为(www.chuimin.cn)

如果对系统进行归一化处理，使系统横向放大率M＝1^[1]，则线性空间不变系统的脉冲响应函数可以写作，式（3-8）表示的线性系统输入、输出关系还可以进一步简化为

上面的分析表明，如果在空间域描述一个线性空间不变系统，它的输入、输出关系符合式（3-12）的卷积运算；也就是说，线性空间不变系统的输出函数等于输入函数和原点脉冲响应函数的卷积。值得注意的是，在式（3-12）的第二个等式中，输入函数g、输出函数E和系统脉冲响应函数h采用了相同的坐标，对此可以理解为g(x′,y′)只不过是物分布g(x,y)放大率为1的理想像而已。因此，式（3-12）可以更明确地解释为：光学系统的像分布等于物的理想像分布与系统脉冲响应函数的卷积。

傅里叶光学原理与系统设计：线性空间不变系统与卷积

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