线性系统与光学叠加积分

2023-11-23 理论教育版权反馈

【摘要】：线性系统最显著的特征是，它对任意复杂函数的响应，能够表示成它对由输入函数分解成的一系列“基元”函数响应的线性叠加。它的物理意义是，线性系统的输出是以输入函数作为权重的系统脉冲响应函数的叠加积分。值得注意的是，一般线性系统的脉冲响应函数既是输出平面坐标的函数，又是输入平面坐标(x,y) 的函数，这种脉冲响应函数与输入平面坐标密切相关的线性系统称为空间线性不变系统。

有一类系统，当用输入函数g i(x ,y)(i=1,2,3,…)单独作用时，对应的输出函数为，但当用

作为输入函数时（式中ci为任意常数），如果对应的输出函数满足下述叠加性质

则称此系统为线性系统。对于均匀各向同性介质的光学系统，在微扰原理成立的前提下，均可看作是线性系统。如果系统用相干光照明，则该系统对光波的复振幅分布是线性的；如果用非相干光照明，则该系统对光强分布是线性的。

线性系统最显著的特征是，它对任意复杂函数的响应，能够表示成它对由输入函数分解成的一系列“基元”函数响应的线性叠加。系统对基元函数的输入、输出性质清楚了，对任意复杂输入函数的响应特性也就清楚了，这是线性系统分析的基本方法。

对于光学系统，无论是相干光系统还是非相干光系统，也不论系统是否用于成像的目的，最直接的处理方法是将输入面上的光场分布分解为一系列点光源的线性叠加，如果用二维δ函数来表示各个点光源，则δ函数的筛选性质［式（1-30）］正好提供了这种分解方法，即

式（3-4）的物理意义是，光学系统输入面上的任意光场分布（复振幅或光强），总可以看成是位于坐标(x0 ,y0)、振幅密度（相干照明）或功率密度（非相干照明）等于g(x 0,y0)的一系列点光源g(x0 ,y0)δ(x -x 0,y -y0)叠加而成。这种分解方法称为点基元分解方法。

为了求出系统对输入函数g(x ,y)的响应，将式（3-4）代入式（3-1）得(www.chuimin.cn)

由于g(x 0,y0)只不过是各点基元函数的权重因子，所以，应用式（3-3）的线性性质，可将系统算符直接作用于各基元函数上，于是有

式（3-36）中，S{δ(x -x0 ,y -y0)}表示以基元函数δ(x -x0 ,y -y0)作为输入函数时，线性系统的输出，或者说是线性系统对点基元函数的响应。对于光学系统，一种等价的看法是：如果将光学系统的输入称为“物”，对应的输出称为“像”（不论该系统是否用于成像的目的），则S{δ(x -x0 ,y -y0)}就是物平面上位于(x0 ,y0)处一个点光源的像。我们引入新的符号来表示这个像的分布，称之为系统的脉冲响应函数，或点扩散函数

将式（3-7）代入式（3-6），于是线性系统的输入、输出关系就可以用下述的积分式来表示：

式（3-8）称为叠加积分。它的物理意义是，线性系统的输出是以输入函数作为权重的系统脉冲响应函数的叠加积分。这就是说，线性系统的性质可以完全由它的脉冲响应函数来表征，只要知道系统对输入平面上全部点基元的脉冲响应，系统的输出就可以完全确定。对于光学系统来说，只要确定了物平面上各个点光源的像，就可以利用式（3-8）来完整地描述系统的像分布。

值得注意的是，一般线性系统的脉冲响应函数既是输出平面坐标的函数，又是输入平面坐标(x,y) 的函数，这种脉冲响应函数与输入平面坐标密切相关的线性系统称为空间线性不变系统。对于这种系统，用式（3-8）的叠加积分来描述输入、输出关系只具有理论意义，而很难用于解决实际问题。因此，为了对线性系统的输入、输出关系有一个更加简单而具体的描述，必须对线性系统的性质给出更严格的限制，即将研究范围局限于线性系统的一个子类——线性空间不变系统。

线性系统与光学叠加积分

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