角谱传播-傅里叶光学原理与系统设计

2023-11-23 理论教育版权反馈

【摘要】：首先给出角谱的概念。设A的空间频谱为a，则有a表示复杂波A中空间频率为的平面波成分的复振幅密度，空间频率决定了该平面波的传播方向。该三维简谐平面波在自由空间传播过程中，其等相面始终是平面。下面，对式表示的角谱传播特性做进一步讨论。

首先给出角谱的概念。设A(ξ ,η)的空间频谱为a(fξ ,fη)，则有

a(fξ ,fη)表示复杂波A(ξ ,η)中空间频率为(fξ ,fη)的平面波成分的复振幅密度，空间频率(fξ ,fη)决定了该平面波的传播方向。设该平面波波矢的方向余弦为(cos α,cos β,cos γ)，则有

且

所以，A(ξ ,η)的空间频谱a(fξ ,fη)又可以表示为，这种用波矢方向余弦表示的空间频谱 pagenumber_ebook=104,pagenumber_book=88 ，称为复杂波A(ξ, η)的角谱。

式（2-50）表示，z=0平面的复杂波A(ξ ,η)被分解为一系列空间频率各不相同的三维简谐平面波，其中空间频率(fξ ,fη)的简谐平面波成分为

式（2-53）所表示的平面波复振幅，实际上是空间频率为(fξ ,fη ,fζ)的一个三维简谐平面波在z=0平面的表达式。该三维简谐平面波在自由空间传播过程中，其等相面始终是平面。当它从(ξ ,η,0)平面传播距离z，到达(x,y ,z)平面时，其复振幅应表示为

利用式（2-52），式（2-54）可改写为(www.chuimin.cn)

为了比较同一平面波在z=0平面和传到z平面的复振幅分布，可将式（2-53）中的空间变量(ξ ,η)改写为(x,y)，以便与式（2-55）进行比较。通过对两式的比较可以看出，z=0平面的角谱a(fξ ,fη)在自由空间传播距离z之后，只是增加了一个和z有关的位相因子，因此z平面的角谱可以表示为

最后，对e(fξ ,fη)做傅里叶逆变换，即可求出观察面Π上衍射场的复振幅为

式（2-56）和式（2-57）就是应用平面波角谱理论求解衍射问题的基本公式。这组公式说明：平面波角谱理论的实质是傅里叶分解和综合的过程。即首先将输入函数A(ξ, η)分解为一系列简谐平面波，然后再将传播过程中经历了不同位相延迟的平面波成分相加，最后综合出输出面上衍射的复振幅。

下面，对式（2-56）表示的角谱传播特性做进一步讨论。首先，在式（2-56）中，只有当A(ξ, η)所含的平面波成分满足：

时，才能保证这些角谱成分以平面波的形式在自由空间传播；当式（2-58）的条件不满足时，对应的角谱成分成为倏逝波，不能离开z=0平面向前传播。其次，如果用H(fξ ,fη)表示E(fξ ,fη)和a(fξ ,fη)的比值，即

可以看出，H(fξ ,fη)与输入函数A(ξ ,η)的形式无关，表征了光波在自由空间传播的固有性质。如果把光波在自由空间传播的过程看作是一个线性不变系统，将A(ξ ,η)和E(x,y)看作是系统的“输入”和“输出”，那么H(fξ ,fη)就是该系统的传递函数。对于线性系统和传递函数的概念，将在第3章中做更详细的介绍。

角谱传播-傅里叶光学原理与系统设计

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