傅里叶变换的性质-傅里叶光学原理与系统设计

2023-11-23 理论教育版权反馈

【摘要】：以一维函数为例，介绍傅里叶变换的主要性质，这些性质可以直接推广到二维函数。这一性质可由傅里叶变换定义式中积分运算的线性性导出。

以一维函数为例，介绍傅里叶变换的主要性质，这些性质可以直接推广到二维函数。

1. 线性性

设F[f(x)]=F(μ),F[g(x)]=G(μ)，则有

式中，a、b是任意复常数。这一性质可由傅里叶变换定义式（1-79）中积分运算的线性性导出。

2. 对称性

设F[f(x)]=F(μ)，若将函数F作为傅里叶变换系统的输入，则有

证明　由已知条件可以写出

上式的函数形式和变换关系不会因变量符号的改变而发生变化，因此将变量x和μ对换后，变换关系依然成立，即

或

因此对称性得证。对称性的作用之一表现在，当已知F[f(x)]=F(μ)时，可以不作积分，直接得出f(x)的傅里叶变换。例如，已知

应用对称性，直接得出

因为通过积分来求F[sin c(x)]则是很困难的。

3. 迭次傅里叶变换

设F[f(x)]=F(μ)，对F(μ)再做一次变换，则有

证明

这个性质表明，对函数f(x)连续两次做傅里叶变换，得到反射坐标系中的原函数。应用这一性质，可以很好地解释光学系统的二次成像原理。

4. 缩放性质

设F[f(x)]=F(μ)，a为不等于零的实常数，则有

证明

令ax =x′,则，，代入原式。

当a＞0时

当a＜0时

综合上述两种情况，可证明式（1-151）的性质。在式（1-151）中，a称为函数f(x)的缩放因子。性质4表明，某物理量在x域的收缩或扩展，会引起该物理量在μ域的扩展或收缩。借此，可以很好地解释光的衍射与光波所受限制的关系。

5. 平移和相移性质(www.chuimin.cn)

设F[f(x)]=F(μ)，x0是不为零的实常数，则有

其中式（1-152）的关系称为平移性质，式（1-153）的关系称为相移性质。

证明式（1-152）：

因

令

于是

式（1-153）的证明思路与此类似。对这两个性质可做如下的理解：如果将f(x)作为空域（x域）的函数，将F(μ)作为对应的空频域（μ域）的分布，则性质5表明，函数在空域的平移，会引起空频域的相移；而函数在空域的相移，则会引起空频域的平移。平移性质又称为平移不变性或等晕性，该性质连同相移性质都可以用光学系统来模拟，并在二维线性系统分析中得到广泛应用。

最后指出，平移和缩放性质均是对自变量x和μ起作用，下面的例子说明了f(x)同时存在缩放和平移时的运算方法。

设F[f(x)]=F(μ)，则有

6. 面积对应关系

设F[f(x)]=F(μ)，则有

这一性质表明，f(x)曲线下面积等于F(0)，而F(μ)的曲线下面积则等于f(0)。

这一性质可直接从定义式（1-79）和式（1-80）导出。

7. 复共轭函数的傅里叶变换

设F[f(x)]=F(μ)，则有

上述性质也可直接从定义式（1-79）出发得到证明。

8. 傅里叶变换对的实、复、奇、偶关系

设F[f(x)]=F(μ)，且f(x)和F(μ)均为复函数，可以一般地表示为

上式中，下标“e”和“o”分别表示函数的“偶部”和“奇部”；下标“eR”“eI”“oR”“oI”则分别表示函数的“实偶”“虚偶”“实奇”“虚奇”部分。按上述表示方法，利用欧拉公式和奇偶函数的积分性质，经简单推导，可得出f(x)的傅里叶变换为