自相关函数在《傅里叶光学原理与系统设计》中发挥的作用

2023-11-23 理论教育版权反馈

【摘要】：对于能量有限信号对于能量无限而功率有限的信号，则有3. 自相关函数的性质自相关函数具有厄米特性，即这一性质可直接由式导出。因此，在许多应用中，常用适当定义的自相关函数的宽度，来表征某些随x无规则变化的函数f的“相关长度”。

1. 自相关函数的定义

在一维互相关函数定义式（1-134）中，若令g(x)=f(x)，即可得出一维自相关函数的定义式

简记为

如前面所述，式（1-135）是能量有限信号自相关函数的定义。对于能量无限而功率有限的信号，其自相关函数仍然要采用平均功率的概念来定义，即

上述自相关函数的定义式，可直接由一维形式推广到二维形式。能量有限的二维函数f(x,y) 的自相关函数定义为

能量无限而功率有限信号的自相关则定义为

2. 归一化的自相关函数

自相关函数R f(x)的绝对值大小，不仅与x有关，而且还与输入信号的能量或功率大小有关，因此实际应用问题中，常常需要对自相关函数R f(x)做归一化处理。归一化自相关函数简记为r f(x)，其定义是

对于能量无限、功率有限的信号，其归一化自相关函数的定义是

以上定义可以直接推广到二维的情形。对于能量有限信号(www.chuimin.cn)

对于能量无限而功率有限的信号，则有

3. 自相关函数的性质

（1）自相关函数具有厄米特性，即

这一性质可直接由式（1-132）导出。由于厄米特函数具有偶实部和奇虚部，所以，当f(x)为实函数时，R f(x)也是实函数，并且在图形上具有偶对称性。

（2）

这一性质可由公式（1-133）得证。从这一性质出发可以得出推论，当f(x)为实函数时，R f(x)具有偶对称的中央峰值。

（3）归一化自相关函数的性质

根据归一化自相关函数定义式（1-140）和式（1-145），立即可以得出归一化自相关函数r f(x)的两条重要性质，即

从自相关函数的定义和性质可以很好地认识自相关函数的意义。不难理解，R f(x)描述了函数f(α)和f(α-x)之间的关联性，这种关联性反映了函数f(x)变化的速率，R f(x)随x变化越缓慢，说明函数f(x)随x变化越缓慢。因此，在许多应用中，常用适当定义的自相关函数的宽度，来表征某些随x无规则变化的函数f(x)的“相关长度”。

自相关函数在《傅里叶光学原理与系统设计》中发挥的作用

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