傅里叶光学原理-互相关函数

2025-09-30 理论教育版权反馈

【摘要】：对于不满足绝对可积条件，即能量无限的信号，如果满足功率有限条件，若平均功率都收敛，这类信号称为功率有限信号，其互相关函数可用平均功率来定义，即或简写为上述互相关函数的定义可以直接推广到二维。

在物理学的许多领域，经常要研究两个函数之间的相互关联性，比如模式识别、噪声中的信号检测、光波的部分相干理论等。在这些问题中，被研究的对象可以是确定性函数，也可以是随机过程。总之，衡量两个函数的相互关联程度，都可归结为数学上的相关运算。

1. 互相关函数的定义

首先以一维函数为例，给出互相关函数的定义。函数f(x)和g(x)的互相关函数，定义为含参量的无穷积分

式中，α是积分变量，x是参量，α和x皆为实数；函数f(x)和g(x)可为实函数，也可为复函数；g(x)表示函数g(x)的复共轭，仅当g(x)为复函数时才起作用。为书写方便，常用“★”表示相关，记为

互相关函数和卷积一样，必须满足一定的存在条件，简单说来就是要求f(x)和g(x)绝对可积，也即要求积分收敛。满足上述存在条件时，R f g(x)和R g f(x)都存在，且称为能量有限信号的互相关。这里借用了时间信号的概念，将看作时间信号的功率函数，其时间积分代表总能量，积分收敛则表示能量有限。

对于不满足绝对可积条件，即能量无限的信号，如果满足功率有限条件，若平均功率都收敛，这类信号称为功率有限信号，其互相关函数可用平均功率来定义，即

或简写为

上述互相关函数的定义可以直接推广到二维。能量有限的二维函数f(x,y) 和g(x,y)的互相关函数定义为

能量无限而功率有限信号的互相关函数定义为

2. 互相关函数的性质

（1）互相关函数与卷积的关系对照定义式（1-124）和式（1-108），可以看出，互相关和卷积运算十分相似。实际上，互相关函数的定义式（1-124）可以改写为卷积的形式，即

从上面的比较可以看出，当f(x)和g(x)作卷积时，首先要使扫描函数翻转，变为g(-x)；而做互相关运算时，两个函数都不翻转。其次，在互相关运算中，如果g(x)为复数，还要对它取复共轭。所以，如果首先将g(x)翻转并取复共轭，就可以利用卷积来计算相关了。(https://www.chuimin.cn)

（2）互相关运算不满足交换性，即

实际上，由于

令α-x=α′，则α =α′+x ，dα=dα′，于是

（3）

证明　利用Schwarz不等式

其中φ(x)和ψ(x)均为复函数，当φ=kψ（k为复常数）时，上式的等号成立。

若令φ(α)=f(α)，ψ(α)=g(α-x)，代入不等式，则有

由于

最后证得

性质（3）清楚地显示了互相关函数的意义，从不等式（1-133）可以看出，以x为自变量的互相关函数R fg(x)确实描述了函数f(x)和g(x)之间的关联性，取值的大小，定量描述了关联性的强弱；当f(x)=kg(x)，且k为常数时，不等式取等号，取最大值，此时可认为f(x)与g(x)完全相关。