傅里叶光学原理：卷积的基本性质

2023-11-23 理论教育版权反馈

【摘要】：下面以一维函数卷积为例，讨论卷积的主要性质。并且利用这一性质，很容易证明，两个复函数的卷积可以化为几个实函数卷积的线性叠加，并且运算的结果仍是复函数。卷积平滑效应的程度，完全取决于参与卷积各函数的分布特性。

下面以一维函数卷积为例，讨论卷积的主要性质。这些结论，可以直接推广到二维函数。

1. 线性性

设a b、为任意常数，f1(x)、f2(x)和h(x)可为实函数，也可为复函数，则有

上述性质是由卷积积分的线性性质决定的，这一性质可以推广到n个函数线性叠加的情形。并且利用这一性质，很容易证明，两个复函数的卷积可以化为几个实函数卷积的线性叠加，并且运算的结果仍是复函数。例如f(x)=

2. 交换性

表示为

这一性质表明，在卷积运算中，取任何一个函数为扫描函数，卷积结果相同。

这一性质可利用简单的变量置换得到证明。

3. 平移不变性

若g(x)=f(x)⊗h(x)，则有

这一性质表明，当参与卷积的两个函数分别发生平移后，卷积函数形式不变，只是发生相应的平移，平移量等于两个输入函数的平移量之代数和。这一性质的证明仍然可以借助简单的变量置换来完成。

4. 多重卷积的结合性

以二重卷积为例，有

这一性质表明，卷积的结果与运算顺序无关。

证明　在式（1-117）中

令h(x)=h1(x)⊗h2(x)，利用卷积平移不变性质可得

于是

上述性质的结论和证明方法可以推广到多重卷积的情形。

5. 缩放性质

若f(x)⊗　h(x)=g(x)，a为不等于0的任意实数，则

这一性质表明，当参与卷积的两个函数横向同时缩放a倍时（1＞a，缩小；1＜a，放大），卷积函数g(x)横向缩放a倍，同时纵向缩放倍。

证明

令aα=β，则(www.chuimin.cn)

，于是，当a＞0时

当a＜0时

综合上面两种情况，最后可得

6.　δ函数及其导数的卷积

（1）δ函数的卷积

式（1-119）表明普通函数与δ函数卷积，结果仍然是普通函数。

证明　由于δ函数具有偶对称性，即δ(x -α)=δ(α-x)，于是

证明过程最后一步应用了δ函数的筛选性质［式（1-30）］。

（2）δ函数导数的卷积

设函数f(x)有界，且其k阶导数存在，于是有

证明　由式（1-48）可知

再利用式（1-50），并令1a=-，于是有

或

代入式（1-121）

所以

7. 卷积的平滑效应

通常情况下，函数f(x)和h(x)的卷积g(x)总是比参与卷积的任何一个函数更平滑，或者说，卷积运算具有“磨光”输入函数精细结构的趋势。卷积平滑效应的程度，完全取决于参与卷积各函数的分布特性。对此，可以归纳出以下几条结论。

① rect(x /b)、tri(x /b)一类有界函数是良好的平滑函数，宽度b越大，平滑展宽效果越好。若f(x)、h(x)均为有界函数，其宽度分别为b1和b2，则g(x)=f(x)⊗h(x)也是有界函数，其宽度将扩展到b3 =b1 +b2。

② δ函数是非平滑函数。由δ函数的卷积性质可知，任何普通函数f(x)与δ函数作卷积，都将重建原来的函数f(x)。因此，完全不具有平滑和展宽的作用。

③ sinc函数是一类很特殊的函数，可以证明，sinc函数的自卷积仍然是sinc函数，即

更普遍的情形是，当和一个限带函数f(x)作卷积时，若f(x)的带宽W和sinc函数主瓣半宽度b满足条件bW≤1，则有

即是说，在这种情况下，sinc函数与限带函数的卷积，既无平滑效应，又无展宽效应，只能重建原来的限带函数。

傅里叶光学原理：卷积的基本性质

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