背景建模就是将图像的所有像素分为背景和前景两部分，背景建模根据提取的特征可分为纹理背景建模和颜色背景建模，这里只介绍颜色背景建模。颜色背景建模的基本原理是对图像中的每一个位置的像素点建立模型，对于需要判断的当前帧来说，如果对应位置像素点与该模型匹配，则认为该点属于背景，并将该帧中的点与现有的背景进行加权相加，形成新的背景模型，这样做的目的是使背景的模型更加接近视频最真实的背景，若对应像素点与模型不匹配，则属于前景。下面详细介绍平均背景建模、单高斯背景建模和混合高斯背景建模。
1.平均背景建模
平均背景建模的基本思想是将当前帧i中的像素点与前i-1帧中背景对应位置像素点的平均值的差值与设定阈值进行比较，若大于阈值则为前景，否则为背景。具体计算过程如下：
式中，Di（x，y）为当前帧像素点与平均像素之间的差值；Ii（x，y），u（x，y）分别为第i帧像素点和平均像素值；T为阈值；Ioutput（x，y）为输出二值图像的像素点的值。
通常情况下，阈值T是通过自适应进行选择的，一般用帧间差的平均值和标准差进行计算。计算过程如下：
式中，di（x，y）为第i和i-3帧对应像素点（x，y）的帧间差；
为前N帧中帧像素点（x，y）帧间差的平均值；diff（x，y）为前N帧中帧像素点（x，y）帧间差的标准差。
通常阈值T取帧间差的平均值和标准差的β（β一般取2）倍的和，即
根据以上所述，可将当前帧转变成二值图像，为了提高算法的鲁棒性，如果对应像素点被判定为背景，则模型的各个参数需进行相应调整；如果该点被判定为前景，则参数不调整。具体调整方式如下：
式中，
分别为调整后的像素点（x，y）像素平均值、帧间差平均值和标准差；α为学习率，其取值区间一般为[0，1]，α越大，像素点对背景适应速度越快。
算法步骤如下。
（1）根据视频前N帧图像建立背景的模型，即通过式（5-4-3）~（5-4-5）计算各个像素点对应阈值和前N帧的各像素点的平均像素值。
（2）计算当前帧与前边帧平均像素值的差值，并与对应阈值进行比较，将当前图像帧进行二值化，提取目标。
（3）根据步骤（2）的判断结果以及式（5-4-7）~（5-4-9）进行模型参数调整。
（4）重复步骤（2）、（3），直至遍历完成所有的视频帧。
2.单高斯背景建模
高斯分布也叫正态分布，是数学家高斯在1809年研究推导得到的。其概率密度函数如下：
式中，u为均值；σ为方差。
对于一个符合高斯分布的变量x来说，只要确定其均值和方差，便可唯一确定一个高斯函数。故我们可通过高斯函数的均值和方差来建立高斯背景模型。下面详细介绍单高斯背景建模的原理和实现过程。
单高斯背景建模是通过分析图像灰度直方图的特征得到的，我们知道，对于一幅前景目标区域和背景区域相差较大的图像来说，它的灰度直方图呈现两个双峰的形态，而监控视频中每一帧的背景是相差较小的，所以我们将视频中每一帧中某个背景像素点的颜色值看作一个随机过程，并假设该点的像素值出现的概率服从高斯分布。单高斯背景建模的基本原理是对每一个像素的位置建立一个高斯模型，并在模型中保存该处像素的均值u（x，y），方差σ2（x，y）和标准差σ（x，y）。随着视频待判断的帧的到来，若判断帧中像素点符合高斯模型，则该点被认为背景，并进行参数调整，否则为前景。于是我们可以将模型表示为3个含有变量x、y、t的函数，即均值随时间变化的函数u（x，y，t）、方差随时间变化的函数σ2（x，y，t）和标准差随时间变化的函数σ（x，y，t）。
算法步骤如下。
（1）模型初始化。模型初始化就是对视频中t=0时刻的帧中各个像素点建立高斯模型，即对u（x，y，0）、σ2（x，y，0）、σ（x，y，0）的数值进行初始化：
式中，I（x，y，0）为t=0时刻（x，y）点处的像素值；ξ为设定值，一般可以设定ξ=20。(www.chuimin.cn)
（2）更新参数并检验。模型初始化结束之后，对视频中每一帧的所有像素点进行模型匹配，模型匹配是通过比较当前帧该点的像素值与前一帧对应点高斯模型的均值之间的距离进行判断的，即
式中，λ为我们设定的常数点，通常取λ=2.5。
如果Ioutput的值为1，则匹配不成功，认为该点为前景目标点，否则，认为该点为背景点，并对相应点模型参数进行更新，对模型的各个参数（均值、方差，以及标准差）进行相应调整。具体调整如下：
式中，参数α表示学习效率，取值一般为[0，1]，其可以使模型在背景缓慢变化时具有一定的鲁棒性。
3.混合高斯背景建模
单高斯模型适合对前景目标和背景相差较大的图像建模，其直方图呈现双峰形态。但是实际生产生活中，许多视频中的前景与背景相差并不大，且其直方图呈现多峰不止有两个峰值的形态，如医学影像等。大多数情况下，视频的背景并不是没有一点变化的，例如树叶的抖动和水纹的波动等都会对单高斯背景建模造成一定的影响。基于以上两点分析，混合高斯背景建模的方法被提出，其基本原理是将视频帧中的某一点用多个高斯模型进行加权来构建其模型，这种方法更适用于医学影像等具有多峰直方图的情况，且对于树叶抖动的情况来说，树叶在这一位置时与其中一个高斯模型匹配，树叶晃出此位置时，用另一个高斯模型进行匹配，由此可以在一定程度上消除背景微小变动造成的误检。
算法具体实现步骤。
（1）混合高斯模型的建立。
帧中的每个像素点都用k个单高斯模型进行描述（一般k的取值为3~5），即
式中，
分别表示第i个高斯模型在（x，y）处t时刻的权值、均值和方差。其中权值应满足
混合高斯背景建模首先需要通过一段帧数的训练得到各个单高斯模型的初始均值和方差。
（2）模型匹配成功以及参数调整。
对于新输入的一帧视频来说，如果高斯混合模型中的任意单高斯模型能与之匹配，则认为匹配成功，该点被认为背景点。此时，需要对相应的参数进行调整，新输入的像素点与混合高斯模型中的一个或多个模型匹配，因此只需要调整与该点匹配成功的单高斯模型的均值、方差、标准差，以及权值即可。其中均值、方差、标准差的调整规则与单高斯模型调整规则相同，用式（5-4-15）~（5-4-17）进行计算。匹配规则与单高斯模型中式（5-4-14）相同。权值调整方式如下：
式中，α为学习率；dw表示权值变化量。
（3）模型匹配失败及单高斯模型选择。
如果新输入的视频帧中像素点与混合高斯模型中任一单高斯模型都不匹配，则判断该像素点为前景目标。此时，我们需要去掉混合高斯模型中重要性最小的那个单高斯模型，并用新的像素点创建模型来代替它，其中重要性的判定见步骤（4）。新模型的权值应取较小的值，均值为新的点的像素值，方差为较大的值，一般为20。
通过步骤（2）、（3）进行参数调整或者增加新的单高斯模型后，为了使权值满足式（5-4-19），我们需要对权值进行归一化处理，即
式中，wnewi（x，y，t）为归一化之后第i个单高斯模型的权值。
由于混合高斯模型是由多个单高斯模型组成的，因此我们需要选择那些最符合背景的单高斯模型来构建混合高斯模型，并及时删除其中的非背景模型。由分析可知，背景会出现在整个视频的所有帧中，而当一个像素点被判定为背景时，它的权值会相应增大，因此背景像素点的权值是比较大的。而背景的像素值基本不变，因此背景像素点的方差比较小。所以，混合高斯模型中的单高斯模型的重要性可由权重和方差一起来进行判定，即
根据重要性排序，我们可以对混合高斯模型中的单高斯模型进行删除。首先对所有的单高斯模型根据重要性由大到小进行排序，若前n个单高斯模型的权重满足
，则选择前n个单高斯模型构成混合高斯模型。
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