矩阵A（λ）的相抵标准形定理及唯一性

2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：，r-1.定理10.11中式10.32所表达的矩阵称为矩阵A（λ）的相抵标准形.定义10.11 设λ矩阵A（λ）的秩为r，对于整数k，1≤k≤r，A（λ）中必有非零的k阶子式.A（λ）的全部k阶子式的最大公因式Dk（λ）称为A（λ）的k阶行列式因子.定理10.12 相抵的λ矩阵具有相同的秩和相同的各阶行列式因子.定理10.13λ矩阵的相抵标准形是唯一的.定义10.12λ矩阵A（λ）的相抵标准形主对角线上的非零元素d1（λ），d2（λ），…

本节介绍另一种计算Jordan标准形的工具——λ矩阵.我们给出所有需要的定义以及重要的结论，全部定理的证明可以参考北京大学的《高等代数》.

设F是数域，λ是一个文字，定义在多项式环F[λ]上的矩阵称为λ矩阵.

定义10.7 如果λ矩阵A（λ）中有一个r阶子式不为零，但是所有r+1阶子式都是零，那么称A（λ）的秩为r.零矩阵的秩定义为零.

定义10.8 设A（λ）是一个n阶方阵，如果存在一个n阶方阵B（λ）满足

A（λ）B（λ）=B（λ）A（λ）=E，

那么就称A（λ）是可逆的，B（λ）称为A（λ）的逆矩阵，记作A^-1（λ）.

定理10.10n阶方阵A（λ）可逆的充分必要条件是其行列式A（λ）是非零常数.

例10.16 设三阶λ矩阵

容易验证，A（λ）B（λ）=B（λ）A（λ）=E.

定义10.9 如下的三种变换叫作λ矩阵的初等变换：

（1）矩阵的两行（列）互换位置；

（2）矩阵的某一行（列）乘以一个非零常数；

（3）矩阵的某一行（列）乘以ϕ（λ）加到另外一行（列）上，ϕ（λ）是一个多项式.

可以看到每一种初等变换都是可逆的，单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵也称为初等方阵.

定义10.10 如果λ矩阵A（λ）可以经过一系列初等变换化为B（λ），那么就称矩阵A（λ）与B（λ）是相抵的.

显然，λ矩阵的相抵关系是一种等价关系.λ矩阵A（λ）与B（λ）是相抵的充分必要条件是存在一系列的初等方阵P₁，…，P_s，Q₁，…，Q_t满足

A（λ）=P_s…P₁B（λ）Q₁…Q_t.

引理10.4 设λ矩阵A（λ）的左上角元素a₁₁（λ）≠0，并且A（λ）至少有一个元素不能被它除尽.那么一定可以找到一个与A（λ）等价的矩阵B（λ），它的左上角元素b₁₁（λ）≠0，且degb₁₁（λ）<dega₁₁（λ）.

定理10.11 任意一个非零的s×n阶λ矩阵A（λ）都等价于下列形式的矩阵：

其中r≥1，d_i（λ），i=1，2，…，r是首一多项式，且

d_i（λ）d_i+1（λ），i=1，2，…，r-1.

定理10.11中式10.32所表达的矩阵称为矩阵A（λ）的相抵标准形.

定义10.11 设λ矩阵A（λ）的秩为r，对于整数k，1≤k≤r，A（λ）中必有非零的k阶子式.A（λ）的全部k阶子式的最大公因式D_k（λ）称为A（λ）的k阶行列式因子.

定理10.12 相抵的λ矩阵具有相同的秩和相同的各阶行列式因子.

定理10.13λ矩阵的相抵标准形是唯一的.

定义10.12λ矩阵A（λ）的相抵标准形主对角线上的非零元素

d₁（λ），d₂（λ），…，d_r（λ）

称为λ矩阵A（λ）的不变因子.

例10.17 设三阶λ矩阵

对A（λ）进行初等变换如下：

这样就得到A（λ）的不变因子为λ，λ（λ+1），λ²（λ+1）.

定理10.14 两个λ矩阵相抵的充分必要条件是它们具有相同的行列式因子，或者具有相同的不变因子.(www.chuimin.cn)

定理10.15λ矩阵A（λ）可逆的充分必要条件是它可以表示为一些初等方阵的乘积.

推论10.5 两个s×n阶λ矩阵A（λ）与B（λ）相抵的充分必要条件是，存在s阶λ方阵P（λ）与n阶λ方阵Q（λ）使得

B（λ）=P（λ）A（λ）Q（λ）.

引理10.5 设矩阵A与B都是n阶常数矩阵，如果有n阶常数矩阵P₀，Q₀使得

λE-A=P₀（λE-A）Q₀，

则矩阵A与B相似.

引理10.6 对于任何不为零的n阶常数方阵A和λ矩阵U（λ）与V（λ），一定存在λ矩阵P（λ）与Q（λ）以及常数矩阵U₀与V₀使得

U（λ）=（λE-A）Q（λ）+U₀，

V（λ）=P（λ）（λE-A）+V₀.

定理10.16 设A与B是数域F上的两个方阵.A与B相似的充分必要条件是它们的特征矩阵λE-A与λE-B相抵.

推论10.6 矩阵A与B相似的充分必要条件是它们有相同的不变因子.

定义10.13 把矩阵A的每个次数大于零的不变因子分解为互不相同的一次因式的方幂的乘积，所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）称为矩阵A的初等因子.

定理10.17 两个同阶方阵相似的充分必要条件是它们有相同的初等因子.

引理10.7 设

如果多项式f₁（λ），f₂（λ）都与g₁（λ），g₂（λ）互素，则A（λ）与B（λ）相抵.

定理10.18 用初等变换化特征矩阵λE-A为对角形式，然后将主对角线上的元素分解为互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）就是A的全部不变因子.

定理10.19 每个n阶复方阵A都与一个Jordan形矩阵相似，这个Jordan形矩阵除去其中Jordan块的排列次序外是被矩阵A唯一确定的.

定理10.20 复方阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是，A的初等因子全是一次的.

定理10.21 复方阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是，A的不变因子都没有重根.

例10.18 设三阶方阵

计算A的Jordan标准形.

解：利用λ矩阵有

初等因子组为λ+3，（λ-1）²，因此A的Jordan标准形为

例10.19 设四阶方阵

计算A的Jordan标准形.

解：利用λ矩阵有

初等因子组为λ-1，λ-1，（λ-1）2，因此A的Jordan标准形为

习题

10.5.1. 将下列λ矩阵化为标准形.

10.5.2. 求下列λ矩阵的不变因子.

10.5.3. 利用λ矩阵解习题10.4.1与习题10.4.2.

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