1.Cramer法则
这里将要讨论的是线性方程组的公式解.首先设n元一次线性方程组
通常把这个方程组的系数矩阵的行列式记作D，称为系数行列式，即
并且记
其中1≤j≤n.这里Dxj是把系数行列式中的第j列的全部元素用常数项依次换掉之后得到的行列式.我们有如下定理.
定理9.12 （Cramer法则）n元一次线性方程组（9.16）有唯一解的充分必要条件是其系数行列式D≠0；并且在此时，线性方程组（9.16）的解为
证明：只需验证后一半结论即可.利用行列式展开定理，有
这里1≤i≤n.证毕.
推论9.9 齐次线性方程组
有非零解的充分必要条件是D=0.
2.伴随矩阵
设A=（aij）是n阶方阵，称由这个方阵的全部代数余子式构成的n阶方阵
为方阵A的伴随矩阵，记作A∗.由行列式展开定理，容易证明：
定理9.13 对任意的n阶方阵A都有AA∗=A∗A=|A|E.
这样，我们可以得到一个计算逆矩阵的公式.
定理9.14 当方阵A可逆时，
.
3.矩阵的秩
若A是m×n阶矩阵，任意选择k行以及k列，交叉位置的元素依其原有的相对位置组成的行列式称为A的一个k阶子式.
定理9.15 若A是m×n阶矩阵，则rankA=r的充分必要条件是A有一个r阶子式不等于零，而所有r+1阶子式全等于零.
证明：充分性，有一个r阶子式不等于零，说明A有r个线性无关的列向量，即rankA≥r；所有r+1阶子式全等于零，说明A的任意r+1个列向量都是线性相关的，即rankA≤r.于是有rankA=r.
必要性，先选择r个线性无关的列，再从中选择r个线性无关的行，则由这些元素组成的子式就不等于零.而r+1个列向量一定线性相关，任意选r+1个行，则得到的子式一定是零.证毕.
这个定理使得我们可以有另外一种定义秩的方法.
定义9.4 矩阵中不为零的子式的最高阶数称为该矩阵的秩.
至此，我们有三种定义矩阵的秩的方法，它们是：
（1）相抵标准形中1的个数，或者非零行的行数，或者非零列的列数；
（2）行秩或者列秩；
（3）非零子式的最高阶数.
4.正定矩阵
引理9.3 正定矩阵的行列式大于零.
证明：若A是正定矩阵，则存在可逆矩阵P，使得A=PTP，所以|A|=|PTP|=|P|2>0.证毕.
设A是对称方阵，选择下标列1≤i1<i2<…<ik≤n，则子式
称为A的主子式，而子式
称为A的顺序主子式.
定理9.16 （Hurwitz）设A是对称方阵，则A正定的充分必要条件是A的顺序主子式全大于零.
证明：必要性.设A是正定矩阵，其二次型为
考虑主子式
其矩阵为
A1的二次型是
若（x1，x2，…，xk）≠0，则有
g（x1，x2，…，xk）=f（x1，x2，…，xk，0，…，0）>0，
因此，g（x1，x2，…，xk）是正定二次型，由引理知A1>0.必要性得证.
充分性.对n用归纳法.当n=1时，命题显然成立.假设命题对n-1阶方阵成立，对于n阶方阵A，把方阵A分块为
这时，An-1是对称方阵，且顺序主子式全都大于零，因此An-1是正定矩阵.所以，有矩阵恒等式
由条件可知
ann-αTA-1n-1α>0.
进一步可得
与En合同.因此A是正定矩阵.证毕.
定理9.17 设A是对称方阵，则A正定的充分必要条件是A的主子式全大于零.
证明留作习题.
5.Binet-Cauchy公式
矩阵A中第i1，i2，…，ik行和第j1，j2，…，jk列的交叉元素按照原来的相对位置组成的k阶子式，记作
.
定理9.18 （Binet-Cauchy公式）设A，B分别是s×n，n×s阶矩阵，则有
（1）当s>n时，AB=0；
（2）当s=n时，AB=AB；
（3）当s<n时，
.
证明：（1）此时，rankAB≤n<s，所以AB=0.
（2）前面已证明的结论.
（3）考虑分块矩阵
，易于验证
这样，利用（2）的结论知，上式左端的行列式就等于
的行列式，因此，有(www.chuimin.cn)
把右端的行列式按前n列展开得
把左端的行列式按前s行展开得
其中，j1<j2<…<jn-s，i1i2…is，j1j2…jn-s是1，2，…，n的一个排列，eγ是第γ分量为1，其余分量为0的n维列向量.
再把行列式
按前n-s列展开得
由于
=n2+s2-ns+2n-s，
所以有
又由于
（n2+s2-ns+2n-s）-（ns+n）=n（n+1）+s（s-1）-2ns
是一个偶数，所以，n2+s2-ns+2n-s和ns+n有相同的奇偶性.从而得到
定理9.19 设A，B分别是s×n，n×t阶矩阵，C=AB，r是一个正整数，则
（1）当r>n时，
；
（2）当r≤n时，
证明：利用矩阵乘法规则可以看到，从矩阵A中选出第i1，i2，…，ir行构成矩阵A1，从矩阵B中选出第j1，j2，…，jr列构成矩阵B1，那么
引用Cauchy-Binet公式即可.证毕.
例9.18 设
其中ai，bi，1≤i≤n，都是实数，下面计算行列式|AAT|.
首先，利用Binet-Cauchy公式有
其次，通过直接计算可得
因此，有Lagrange恒等式
再注意到等式的右端非负，因此可得Cauchy-Schwarz不等式：
习题
9.7.1. 利用Cramer法则解下列线性方程组.
9.7.2. 解线性方程组
并讨论其解的情况，x，y，z是变量.
9.7.3. 已知方程组
有唯一解，证明：abc≠0，并求解.
9.7.4. 设n阶方阵A的伴随矩阵是A∗.
（1）证明：|A∗|=|A|n-1.
（2）计算：rankA∗.
（3）计算：（A∗）∗.
9.7.5. 证明：n阶方阵
是正定矩阵.
9.7.6. 设A，B分别是m×n，n×s阶矩阵，证明：对m×s阶矩阵C=AB的任意一个r阶子式
都有
（1）当r>n时，
；
（2）当r≤n时，
9.7.7. 设A，B都是n阶方阵，
（1）证明：AB和BA的m阶主子式之和相等；
（2）证明：|λE-AB|=|λE-BA|.
9.7.8. 设A，B分别是m×n，n×m阶矩阵，证明：
λn|λE-AB|=λm|λE-BA|.
9.7.9. 利用Binet-Cauchy公式证明AAT的任意主子式都是非负的.
9.7.10. 证明下列恒等式.
（1）Euler恒等式
（x21+x22+x23+x24）（y21+y22+y23+y24）
=（x1y1+x2y2+x3y3+x4y4）2+
（x1y2-x2y1-x3y4+x4y3）2+
（x1y3+x2y4-x3y1-x4y2）2+
（x1y4-x2y3+x3y2-x4y1）2；
（2）Cauchy恒等式
（3）
（a3+b3+c3-3abc）（x3+y3+z3-3xyz）
=A3+B3+C3-3ABC，
其中A=ax+by+cz，B=az+by+cx，C=ay+bx+cz.
9.7.11. （1）计算三阶行列式
.
（2）将三元三次多项式a3+b3+c3-3abc分解因式.
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