高等代数-线性方程组解的条件及证明

2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：，βn，则方程组又可写为的形式.从而有如下定理：定理8.7 线性方程组有解的充分必要条件是b是列向量组β1，β2，…，ηs是对应的齐次线性方程组的一个基础解系.证明：η，η1，η2，…+ksηs也是它的解.8.4.4. 设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r，η1，η2，…

形如

的方程组称为n元线性方程组.其中矩阵

称为这个线性方程组的系数矩阵，而增加常数项一列之后的矩阵

称为这个线性方程组的增广矩阵，

称为常数项，则方程组（8.16）可以简记为Ax=b.

将A的列向量依次记为β₁，β₂，…，β_n，则方程组（8.16）又可写为

的形式.从而有如下定理：

定理8.7 线性方程组（8.16）有解的充分必要条件是b是列向量组β₁，β₂，…，β_n的线性组合.

定理8.8 线性方程组（8.16）有解的充分必要条件是rankA=rank（A，b），即系数矩阵和增广矩阵有相等的秩.

对于每一个形如方程组（8.16）的线性方程组，都对应于一个齐次线性方程组Ax=0，称为线性方程组（8.16）对应的齐次线性方程组或者导出组.有如下线性方程组解的结构定理.

定理8.9 如果rankA=r，y₀是n元线性方程组Ax=b的任意一个解.ξ₁，ξ₂，…，ξ_n-r是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则线性方程组Ax=b的全部解可以写成

y₀+c₁ξ₁+c₂ξ₂+…+c_n-rξ_n-r

的形式，这里c₁，c₂，…，c_n-r是任意实数.

证明：显然，

y₀+c₁ξ₁+c₂ξ₂+…+c_n-rξ_n-r

一定是线性方程组Ax=b的解.同时，若y是Ax=b的解，则y-y₀一定是Ax=0的解.故此定理成立.证毕.

这个定理8.9中出现的解y₀称为该线性方程组的特解.(www.chuimin.cn)

例8.11 解线性方程组

解：对线性方程组的增广矩阵作初等行变换有

原方程组的等价方程组是

它的一个特解是.原方程组对应的齐次方程组的基础解系是，所以，原方程组的通解是

其中c是任意常数.

例8.12 解线性方程组

解：

由于系数矩阵的秩是2，但是增广矩阵的秩是3，所以这个方程组无解.

习题

8.4.1. 判断下列线性方程组是否有解，如果有解的话，求出线性方程组的全部解.

8.4.2. 设η^∗是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，η₁，η₂，…，η_s是对应的齐次线性方程组的一个基础解系.证明：η^∗，η₁，η₂，…，η_s线性无关.

8.4.3. 设η₁，η₂，…，η_s是非齐次线性方程组Ax=b的s个解，k₁，k₂，…，k_s是实数，且满足条件k₁+k₂+…+k_s=1.证明：k₁η₁+k₂η₂+…+k_sη_s也是它的解.

8.4.4. 设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r，η₁，η₂，…，η_n-r+1是它的n-r+1个线性无关的解.证明：它的任意解可以表示为

x=k₁η₁+k₂η₂+…+k_n-r+1η_n-r+1，

其中k₁+k₂+…+k_n-r+1=1.