，αm的极大无关组中所含的向量个数称为该向量组的秩，记为r（α1，α2，…，αs中任意r个线性无关向量就是该向量组的一个极大无关组，特别地，当r（α1，α2，…......
2023-10-27
矩阵秩定理及极大线性无关组构造
【摘要】：，Pαn具有相同的线性关系.即若k1，k2，…+knαn=0的充分必要条件是k1Pα1+k2Pα2+…+knPαn=0.这个定理的结论是显而易见的，故证明从略.借助这个定理，以给出的n个Fm中的向量为列构造一个m×n阶矩阵A=（α1，α2，…，αn），并且显然有PA=（Pα1，Pα2，…，Aαn也线性无关.8.1.6. 求下列各向量组的一个极大线性无关组，并把向量组中的其余向量用这个极大线性无关组表示出来.
设A是m×n阶矩阵，可以把A的每一行看作一个向量，称为A的行向量.显然，它应该是一个n维向量.矩阵A的所有的行向量组成的向量组，称为A的行向量组.由于向量组必然有秩，把矩阵A的行向量组的秩，称为矩阵A的行秩.
同样，可以定义矩阵A的列向量、列向量组以及列秩.
例8.1 矩阵
A的行向量组为
α1=（1，2，3），α2=（4，5，6），α3=（7，8，9）.
由于α1-2α2+α3=0，α1，α2线性无关，所以A的行秩是2.另外，通过简单的计算知道，A的秩和列秩也都是2.
定理8.1 初等变换不改变矩阵的行秩.
证明留作习题.
推论8.1 初等变换不改变矩阵的列秩.
证明：只要考虑转置矩阵的行秩即可.
定理8.2 矩阵的行秩和列秩都等于矩阵的秩.
证明：设rankAm×n=r，则存在n阶、m阶可逆方阵P，Q，使得
由于P，Q都是初等方阵的乘积，因此
证毕.
阶梯形矩阵是一种重要的矩阵形式.所谓阶梯形矩阵是指除矩阵的第一行外，每一行从左边开始第一个不为零的数的列下标都比上一行的第一个不为零的数的列下标大的矩阵，除非这一行的元素全是零.
定理8.3 任一矩阵都可以用矩阵的初等行变换化为阶梯形矩阵.
证明留作习题.
推论8.2 设A是m×n阶矩阵，则存在可逆矩阵P，使得PA是阶梯形矩阵.
显然，通过初等行变换，不仅可以把矩阵化为阶梯形矩阵，还可以使每一行第一个不为零的数全是1，且它们所在的列的其他数全是零.
例8.2 利用矩阵的初等行变换化矩阵
为阶梯形矩阵.
解：
下面介绍一个利用初等变换计算m维线性空间Fm中向量组的极大线性无关组的方法.首先有如下定理：
定理8.4 若向量组α1，α2，…，αn是n个m维列向量，矩阵P是m阶可逆方阵.那么向量组
α1，α2，…，αn
与向量组
Pα1，Pα2，…，Pαn
具有相同的线性关系.即若k1，k2，…，kn∈F，那么(www.chuimin.cn)
k1α1+k2α2+…+knαn=0
的充分必要条件是
k1Pα1+k2Pα2+…+knPαn=0.
这个定理的结论是显而易见的，故证明从略.
借助这个定理，以给出的n个Fm中的向量为列构造一个m×n阶矩阵
A=（α1，α2，…，αn），
并且显然有
PA=（Pα1，Pα2，…，Pαn）.
如果P是可逆矩阵，那么矩阵A就可以通过一系列初等行变换化为矩阵PA.定理8.4断言A与PA的列向量组具有相同的线性关系，如果PA是一个较为简单的矩阵，如行简化阶梯形矩阵，那么就很容易找出PA的列向量组之间的线性关系，从而得到A的列向量组之间的线性关系.
例8.3 设向量组
求出这个向量组的一个极大线性无关组，并把向量组中其余向量用这个极大线性无关组线性表示.
解：以向量组α1，α2，α3，α4，α5为列向量构造矩阵
A=（α1，α2，α3，α4，α5），
并施以初等行变换化为行简化阶梯阵.
记最后得到的矩阵为
（β1，β2，β3，β4，β5），
则显然其列向量组β1，β2，β3，β4，β5的秩为3，且β1，β2，β3就是这个向量组的一个极大线性无关组，并且还有线性表示关系
β4=2β1-3β2-β3，β5=β1-β2+2β3.
于是由定理8.4可知向量组α1，α2，α3，α4，α5的秩是3，且α1，α2，α3就是这个向量组的一个极大线性无关组，并且还有线性表示关系
α4=2α1-3α2-α3，α5=α1-α2+2α3.
习题
8.1.1. 证明定理8.1.
8.1.2. 证明定理8.3.
8.1.3. 证明：rank（A+B）≤rankA+rankB.
8.1.4. 证明：rankAB≤min{rankA，rankB}.
8.1.5. 设A是n阶方阵，α1，α2，…，αn是n个线性无关的n维向量.证明：rankA=n的充分必要条件是Aα1，Aα2，…，Aαn也线性无关.
8.1.6. 求下列各向量组的一个极大线性无关组，并把向量组中的其余向量用这个极大线性无关组表示出来.
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