+a1α+a0∈F称为多项式f在x=α处的值，记作f（α）=anαn+an-1αn-1+…，αn+1是n次多项式f的不同的根.显然，x-αi一定两两互素，因此，f=q…，考虑多项式两端的次数可以看到只有f=0.证毕.推论2.6 若两个n次多项式在n+1个不同的点取值相同，则它们必相等.证明：设f，g是数域F上的n次多项式，且在n+1个不同的点αi，i=1，2，…......
2023-11-22
正交变换在高等代数中的意义
【摘要】：定义6.7 设V是n维欧氏空间，如果线性变换σ：V→V在一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵，则称该变换为正交变换.若ε1，ε2，…，εn仍然是一组标准正交基.因此有：命题6.5 正交变换把标准正交基仍旧变为标准正交基.同样的计算可以得到下面的定理.定理6.4 正交变换保持向量之间的内积不变.证明：设ε1，ε2，…
定义6.7 设V是n维欧氏空间，如果线性变换σ：V→V在一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵，则称该变换为正交变换.
若ε1，ε2，…，εn是欧氏空间V的一组标准正交基，σ是一个正交变换，其矩阵为正交矩阵O=（aij）n×n，则有
其中，δij是Kronecker符号，1≤i，j≤n.这表明，向量组ε1，ε2，…，εn仍然是一组标准正交基.因此有：
命题6.5 正交变换把标准正交基仍旧变为标准正交基.
同样的计算可以得到下面的定理.
定理6.4 正交变换保持向量之间的内积不变.
证明：设ε1，ε2，…，εn是欧氏空间V的一组标准正交基，向量α，β∈V，且
那么就有
证毕.
推论6.3 正交变换保持向量的长度不变.
推论6.4 正交变换保持向量之间的夹角不变.
定理6.5 设σ是n维欧氏空间中的线性变换，则下述命题等价：
（1）σ是正交变换；
（2）σ是保持向量长度不变的；
（3）σ是保持向量间的内积不变的；
（4）σ把标准正交基变为标准正交基.
证明留作习题.
例6.11 在平面R2上，考虑一组标准正交基(www.chuimin.cn)
ε1=（1，0），ε2=（0，1）.
并记
若线性变换σ使得
σ（ε1）=ε1′，σ（ε2）=ε2′，
则容易得到σ的矩阵是
易于验证，OTO=E.因此，σ是一个正交变换.从几何上看，变换σ相当于将坐标轴反时针旋转了
.
例6.12 （续例6.11）考虑单位圆x2+y2=1，在作正交变换σ之后，曲线的方程变成x′2+y′2=1.
习题
6.4.1. 证明：
（1）两个正交矩阵的乘积仍然是正交矩阵；
（2）两个正交变换的复合仍然是正交变换.
6.4.2. 证明定理6.5.
6.4.3. 正交变换一定是可逆变换，且其逆变换仍然是正交变换.
6.4.4. 设σ是n维欧氏空间中保持内积不变的变换，证明：σ一定是线性变换，因而是正交变换.保持向量长度的变换是否一定是线性变换？
6.4.5. 设α，β是n维欧氏空间V中的向量，且‖α‖=‖β‖.证明：存在正交变换σ，使得σ（α）=β.
6.4.6. 求出所有的二阶正交矩阵，并指出它们的几何意义.
有关高等代数的文章
- 详细阅读
-
标准正交基在高等代数中的重要性详细阅读
，αs线性无关.证毕.命题6.4说明在n维欧氏空间中不可能找到n+1个两两正交的非零向量.定义6.4 在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组是一组基，称为正交基.由单位向量组成的正交基，称为标准正交基.在n维欧氏空间V中，任选一组基α1，α2，…，αn出发，一定可以构造一组标准正交基β01，β02，…+xnyn.这个结果表明，在欧氏空间中内积是唯一确定的.另选一组标准正交基η1，η2，…......
2023-11-22
-
高等代数中的分块矩阵及其应用详细阅读
，As都是方阵，那么形如的分块矩阵称为分块对角矩阵，简称分块对角阵，可以简单地记作diag（A1，A2，…，Es）有下面的三种分块初等矩阵：E=diag（E1，…......
2023-11-22
-
行列式计算：高等代数-高等代数详细阅读
，xn）.解此递推关系可以得到例9.15 计算n阶行列式.解：将这个行列式的每一列都拆为两列，进而把行列式分成2n个行列式之和.当n>2时，它们中的每一个都有两列成比例.因此，行列式等于零.当n=1时，行列式等于a1+b1.当n=2时，行列式等于.例9.16 设四阶方阵，计算行列式|A|.解：由于所以|A|2=|A||AT|=|AAT|=4.再因为|A|中a4的系数为正，所以，|A|=2.例9.17 计算n阶循环行列式.解：这里我们记，以ζk=ζk，k=1，2，…......
2023-11-22
-
高等代数中的线性映射与矩阵表示详细阅读
，αn是V1的一组基，则只需确定它们在线性映射σ之下的像σ（α1），σ（α2），…，βm，若σ是从线性空间V1到V2的线性映射，由于σ（αj）∈V2，因此即这组关系可以用矩阵形式表示为今后把向量（σ（α1），σ（α2），…......
2023-11-22
-
高等代数中集合与其运算-高等代数详细阅读
在数学中，有许多概念是不定义概念，如几何学中的点、线、面等概念.集合与元素是集合论的基本概念，也是一对不定义概念.集合论是著名的德国数学家George Cantor（1845—1918）在19世纪后期创立的，之后作为一种基本的数学语言和强有力的研究工具渗透到数学的每一个分支，成为全部数学研究的基础.所谓集合就是由具有某种性质的个体所组成的一个整体，其中的个体都称之为元素.例如，2008年北京奥运会......
2023-11-22
- 详细阅读
-
高等代数：线性空间的定义详细阅读
定义4.1 设F是数域，V是一个非空集合，V中的元素具有两种运算，分别称为加法运算和数乘运算.所谓加法运算，就是一个对应法则，该法则使得集合V中任意两个元素α，β都对应于集合V中一个确定的元素γ，并称γ为元素α与β的和，记作γ=α+β.数乘运算是集合V中元素与数域F中的元素之间的运算法则，该法则使得集合V中任意一个元素α与数域F中任意一个数k，都对应于V中一个确定的元素δ，并称δ为k与α的数量乘积......
2023-11-22
相关推荐