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正交子空间定理及证明

2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：定义6.6 若V1和V2是欧氏空间V的子空间，且对任意的α∈V1，β∈V2，总有<α，β>=0，则称子空间V1与V2是正交的.如果同时还有V1⊕V2=V成立，则V2就称为V1的正交补空间，记作V2=V1⊥.同样地，此时V1也是V2的正交补空间.定理6.3n维欧氏空间的任意子空间都有唯一的正交补空间.证明：设W是n维欧氏空间V的一个子空间，如果W是零维的，无须证明.现设dimW>0，选取W的一组正交基α1，α2，…

定义6.6 若V₁和V₂是欧氏空间V的子空间，且对任意的α∈V₁，β∈V₂，总有

<α，β>=0，

则称子空间V₁与V₂是正交的.如果同时还有V₁⊕V₂=V成立，则V₂就称为V₁的正交补空间，记作V₂=V₁⊥.同样地，此时V₁也是V₂的正交补空间.

定理6.3n维欧氏空间的任意子空间都有唯一的正交补空间.

证明：设W是n维欧氏空间V的一个子空间，如果W是零维的，无须证明.

现设dimW>0，选取W的一组正交基α₁，α₂，…，α_r，并扩充为V的一组正交基α₁，α₂，…，α_n.令

W₁=span（α_r+1，α_r+2，…，α_n），

则显然有W⊥W₁并且W⊕W₁=V，从而W₁是W的正交补空间.

若W₁，W₂都是W的正交补空间.任取α₁∈W₁⊆V，则α₁=α+α₂，这里α∈W，α₂∈W₂.从而

<α₁，α>=<α，α>+<α₂，α>，

又由于

<α₁，α>=<α₂，α>=0，(www.chuimin.cn)

因此<α，α>=0，即得α=0.从而α₁=α₂∈W₂，因此W₁⊆W₂.

同理可证W₂⊆W₁，所以W₁=W₂，即正交补空间是唯一的.证毕.

例6.10 在三维欧氏空间R³中，记

W₁={（x，y，z）x+y+z=0}，

W₂={（x，y，z）x=y=z}.

由解析几何知识知道，W₁是一个平面，W₂是一条直线，且互相垂直.这样就有W₁⊥W₂，同时还容易看到W₁⊕W₂=R³，因此W₁⊥=W₂或W₂⊥=W₁.也就是说，这两个空间互为正交补空间.

习题

6.3.1. 证明：（W^⊥）^⊥=W.

6.3.2. 设V₁，V₂是欧氏空间V的子空间，证明：

6.3.3. 在R⁴中，设向量

子空间W=span（α₁，α₂），求：W的正交补空间W^⊥.