定义4.1 设F是数域，V是一个非空集合，V中的元素具有两种运算，分别称为加法运算和数乘运算.所谓加法运算，就是一个对应法则，该法则使得集合V中任意两个元素α，β都对应于集合V中一个确定的元素γ，并称γ为元素α与β的和，记作γ=α+β.数乘运算是集合V中元素与数域F中的元素之间的运算法则，该法则使得集合V中任意一个元素α与数域F中任意一个数k，都对应于V中一个确定的元素δ，并称δ为k与α的数量乘积......
2023-11-22
高等代数：实数域上的内积定义及性质
【摘要】：定义6.1 在实数域R上的线性空间V中，定义一个二元函数V×V→R，称为向量α，β∈V的内积，记作<α，β>，如果下面几个条件同时成立：（1）<α，β>=<β，α>，对任意向量α，β∈V成立；（2）=k<α，β>，对任意向量α，β∈V以及任意实数k∈R成立；（3）<α+β，γ>=<α，γ>+<β，γ>，对任意向量α，β，γ∈V成立；（4）<α，α>≥0，对任意向量α∈V成立，并且等号成
定义6.1 在实数域R上的线性空间V中，定义一个二元函数V×V→R，称为向量α，β∈V的内积，记作<α，β>，如果下面几个条件同时成立：
（1）<α，β>=<β，α>，对任意向量α，β∈V成立；
（2）<kα，β>=k<α，β>，对任意向量α，β∈V以及任意实数k∈R成立；
（3）<α+β，γ>=<α，γ>+<β，γ>，对任意向量α，β，γ∈V成立；
（4）<α，α>≥0，对任意向量α∈V成立，并且等号成立的充要条件是α=0.定义了内积的线性空间称为欧氏空间.
例6.1 在线性空间C[a，b]上定义<·，·>为
容易验证，<·，·>是内积.
例6.2 在n维线性空间Rn中，若向量α，β的坐标分别是
x=（x1，x2，…，xn）T，y=（y1，y2，…，yn）T，
定义
<α，β>=xTy=x1y1+x2y2+…+xnyn，易于验证<·，·>定义了一个内积，这实际上就是R3中内积概念的推广.
由定义易见，对任意向量α，β，γ∈V以及任意实数k∈R有
（2′）<α，kβ>=k<α，β>；
（3′）<α，β+γ>=<α，β>+<α，γ>.
由定义6.1中的条件（4）有<α，α>≥0，定义
称为向量α的长度，长度为1的向量称为单位向量.任一非零向量都可以单位化，对非零向量α作向量
则‖α0‖=1.向量α0称为向量α的单位化向量.
对向量α，β，定义‖α-β‖为向量α，β之间的距离.
命题6.1 （Cauchy-Schwarza不等式）对任意向量α，β∈V，有
<α，β>|≤‖α‖‖β‖.
证明：当β=0时显然.现设β≠0，则有
0≤<α+tβ，α+tβ>=<α，α>+2t<α，β>+t2<β，β>，
把上式看作关于t的一个二次三项式，其判别式应小于等于零，即得
<α，β>2≤<α，α><β，β>.
开平方就得到需要的Cauchy-Schwarz不等式.证毕.
例6.3 Cauchy-Schwarz不等式是一个十分重要不等式，利用这个不等式有如下结果：
（1）在例6.1中，取α，β分别为函数f（x），g（x），则有
（∫abf（x）g（x）dx）2≤∫abf2（x）dx∫abg2（x）dx. （6.1）
（2）在例6.2中，取
α=（a1，a2，…，an）T，β=（b1，b2，…，bn）T，
则有
（a1b1+a2b2+…+anbn）2≤（a21+a22+…+a2n）（b21+b22+…+b2n）. （6.2）
这两个不等式都称为Cauchy不等式.
由命题Cauchy-Schwarz不等式，易见若向量α，β≠0，则
定义
为向量α与向量β的夹角，记作∠（α，β）.
命题6.2 （三角形不等式）对任意向量α，β，总有不等式
‖α+β‖≤‖α‖+‖β‖.(www.chuimin.cn)
证明：两边平方化简后，即可归结为Cauchy-Schwarz不等式.
例6.4 三角形不等式是欧氏几何中重要命题“三角形两边之和大于第三边”的一般形式，其重要性自不必言.
（1）同例6.3中的（1），利用三角形不等式有
（2）同例6.3中的（2），利用三角形不等式有
定义6.2 如果向量α，β∈V，且<α，β>=0，则称向量α，β正交或垂直，记作α⊥β.
例6.5 在欧氏空间R3中，向量α=（1，-1，1），β=（1，2，1），由于
<α，β>=α·β=0，
因此α，β正交，即α⊥β.
例6.6 在闭区间[0，1]内考虑线性空间R[x]，定义内积为
<f（x），g（x）>=∫01f（x）g（x）dx.
计算可得
<1，kxk-1-1>=∫01（kxk-1-1）dx=0，k≥2.
因此，1和kxk-1-1正交.
在n维欧氏空间V中，选定一组基ε1，ε2，…，εn，任取V中两个向量α，β，
计算它们的内积有
其中n阶方阵
A=（<εi，εj>），i，j=1，2，…，n.
由内积的性质知
<εi，εj>=<εj，εi>，
因此方阵A是对称矩阵，称为基ε1，ε2，…，εn的度量矩阵或者Gram矩阵.
如果选定V中的另一组基ε1′，ε2′，…，εn′，其度量矩阵为B.如果由基ε1′，ε2′，…，εn′到基ε1，ε2，…，εn的过渡矩阵为P，则有A=PTBP.
定义6.3 设A，B是n阶对称方阵，若存在可逆的矩阵P，使得A=PTBP，则称矩阵A和B是合同的.
命题6.3 矩阵的合同关系是等价关系，即
（1）反身性 矩阵A和它自身是合同的；
（2）对称性 若矩阵A和B是合同的，则B和A也是合同的；
（3）传递性 若矩阵A和B是合同的，B和C是合同的，则A和C合同.
习题
6.1.1. 证明Cauchy-Schwarz不等式与三角形不等式的等价性.
6.1.2.（勾股定理）在欧氏空间中，向量α，β垂直的充分必要条件是
‖α‖2+‖β‖2=‖α+β‖2.
6.1.3. 写出并证明一般欧氏空间中的余弦定理.
6.1.4. 证明：在欧氏空间中，对任意向量α，β，有
‖α+β‖2+‖α-β‖2=2‖α‖2+2‖β‖2，
并指出这个等式的几何意义.
6.1.5. 在欧氏空间中，与任何向量的内积均为零的向量只能是零向量.
6.1.6. 证明命题6.3.
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