线性子空间的生成与向量组的等价性

2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：，βt）.进一步有，等价的向量组生成相同的线性子空间.命例4.9 对任意一个向量组α1，α2，…，αs}.这两个命题的证明留作习题.定理4.7 若W是n维线性空间V的子空间，则对W的任意一组基α1，α2，…

在线性空间中经常还包含一些子结构，比如线性子空间.这就如同在三维空间中包含二维空间一样.从本节开始就来研究线性空间的子结构及其基本性质.

定义4.6 若V是数域F上的线性空间，W是V的一个非空子集，并且按照V中向量的运算依旧构成一个F上的线性空间，则称W是V的一个线性子空间.

例4.25 在线性空间V中，V本身和零空间都是线性空间V的子空间，称为V的平凡子空间.

例4.26 在二维线性空间R²中，非空集合W={（a，0）a∈R}构成R²的一个线性子空间.

例4.27R_n[x]是R[x]的线性子空间，R_n[x]是R_n+m[x]（m≥0）的线性子空间.

例4.28C¹[0，1]是C[0，1]的线性子空间.

定理4.6 非空集合W是V的一个线性子空间的充分必要条件是

（1）对任意向量α，β∈W，都有α+β∈W；

（2）对数k∈F以及向量α∈W，都有kα∈W.

证明：必要性是显然的.

充分性证明如下：由条件（2），取k=-1，知每一个向量的负元一定在W中；再由（1）知零元一定在W中，其他条件自然成立，无须验证.证毕.

推论4.5 设V是数域F上的线性空间，W是其非空子集，则W是V的线性子空间的充分必要条件是对任意的向量α，β∈W及k，l∈F总有kα+lβ∈W.

若α₁，α₂，…，α_s是数域F上的线性空间V中的s（s≥1）个向量，作集合

容易验证，W是V的一个线性子空间，该子空间称为由向量α₁，α₂，…，α_s生成的子空间，记作span（α₁，α₂，…，α_s）.

命题4.8 若向量组α₁，α₂，…，α_s可由向量组β₁，β₂，…，β_t线性表示，则

span（α₁，α₂，…，α_s）⊆span（β₁，β₂，…，β_t）.进一步有，等价的向量组生成相同的线性子空间.

命例4.9 对任意一个向量组α₁，α₂，…，α_s总有

dim span（α₁，α₂，…，α_s）=rank{α₁，α₂，…，α_s}.

这两个命题的证明留作习题.

定理4.7 若W是n维线性空间V的子空间，则对W的任意一组基α₁，α₂，…，α_r，可以选择n-r个向量α_r+1，α_r+2，…，α_n∈V使得α₁，α₂，…，α_n成为V的一组基.(www.chuimin.cn)

证明：任选线性空间V的一组基β₁，β₂，…，β_n，则W的基α₁，α₂，…，α_r可由β₁，β₂，…，β_n线性表示.由替换定理知，可以从β₁，β₂，…，β_n中选出r个向量，如β₁，β₂，…，β_r，以α₁，α₂，…，α_r替换后得到的向量组

α₁，…，α_r，β_r+1，…，β_n

与β₁，β₂，…，β_n等价，即是V的一组基.证毕.

习题

4.5.1.C⁰是习题4.1.2定义的线性空间.证明：线性空间C⁰是线性空间M₂（R）的子空间.

4.5.2. 若以S_n，T_n分别表示全体n阶对称方阵、反对称方阵的集合.对矩阵的加法和数乘运算，它们都是M_n（R）的线性子空间，分别求出它们的基和维数.

4.5.3. 在n维线性空间Rⁿ中，

W={（x₁，x₂，…，x_n）∈Rⁿx₁+x₂+…+x_n=0}

是Rⁿ的线性子空间.

4.5.4. 如果c₁α+c₂β+c₃γ=0，且c₁c₃≠0，证明：

span（α，β）=span（β，γ）.

4.5.5. 证明命题4.8和命题4.9.

4.5.6. 若V₁，V₂都是线性空间V的子空间，且V₁⊆V₂，dimV₁=dimV₂，证明：V₁=V_2.

4.5.7. 设V₁，V₂是线性空间V的两个非平凡的子空间，证明：存在向量α∈V，使得α∉V₁且α∉V_2.

4.5.8. 设V₁，V₂，…，V_s是线性空间V的s个非平凡的子空间，证明：存在向量α∈V，使得α∉V_i，1≤i≤s.

4.5.9. 设A是m×n阶矩阵，在线性空间Rⁿ中，

W={α|α∈Rⁿ，Aα=0}.

证明：W是Rⁿ的n-rankA维子空间.