，an，b是复数，则形如的方程称之为n元线性方程.由若干个n元线性方程组成的一组方程，称为线性方程组.能够使得线性方程组中所有方程同时成为等式的一组数值，称为方程组的一组解.下面我们初步探讨线性方程组的求解方法.例3.1若公鸡五文钱一只，母鸡三文钱一只，小鸡一文钱三只，现在用一百文钱买到一百只鸡，问：公鸡、母鸡、小鸡各买多少只？......
2025-09-30
高等代数中的分块矩阵及其应用
【摘要】：，As都是方阵，那么形如的分块矩阵称为分块对角矩阵，简称分块对角阵，可以简单地记作diag（A1，A2，…，Es）有下面的三种分块初等矩阵：E=diag（E1，…
将一个矩阵用横直线和纵直线分成若干块就得到分块矩阵.例如，
就可将A化为一个分块矩阵.如果记
A21=（3），A22=（0-1）
则A可写为
在形式上，A仍然是一个矩阵，是一个2×2的分块矩阵.
一般地，一个m×n阶矩阵A用s-1条横直线和t-1条纵直线分成s×t块后，称为s×t分块矩阵，记作（Aij）s×t，其中，Aij（i=1，2，…，s；j=1，2，…，t）是mi×nj阶矩阵，显然
定理3.6 若m×n阶矩阵A和B有相同的分块方式，
即Aij与Bij是同型矩阵，1≤i≤s，1≤j≤t，则有如下结论：
（1）A=B当且仅当Aij=Bij（i=1，2，…，s；j=1，2，…，t）；
证明略.
定理3.7 设矩阵A和B分别是m×n，n×p阶矩阵，矩阵A的列的分法和矩阵B的行的分法相同，即矩阵A与矩阵B分别分成r×s与s×t分块矩阵
A=（Aij）r×s，B=（Bjk）s×t，
其中，Aij是mi×nj阶矩阵，Bjk是nj×pk阶矩阵，且下标满足下列关系：
m1+m2+…+mr=m，
n1+n2+…+ns=n，
p1+p2+…+pt=p.
矩阵A与矩阵B的乘积Cm×p分块为
C=（Cik）r×t，
其中，Cik是mi×pk阶矩阵，1≤i≤r，1≤k≤t.那么
证明略.
由上述内容可见，分块矩阵的运算规则和普通矩阵的运算规则形式上完全一样，只是要注意该运算是否有意义.在矩阵中，对角矩阵是一类简单而重要的矩阵，它们的计算也比较简单易行.一个矩阵如果可以分块为一个对角矩阵的话，那么将给计算带来很大方便之处.
定义3.13 若A1，A2，…，As都是方阵，那么形如
的分块矩阵称为分块对角矩阵，简称分块对角阵，可以简单地记作
diag（A1，A2，…，As）.
定理3.8 设A是方阵，且分为分块对角阵
A=diag（A1，A2，…，As）.
那么矩阵A可逆的充分必要条件是每一个Ai，1≤i≤s，都是可逆的，且在矩阵A可逆时，有
A-1=diag（A1-1，A2-1，…，As-1）.
证明留作习题.
定理3.9 设A是方阵，且分为分块对角阵
A=diag（A1，A2，…，As）.
那么矩阵A的幂为
Ak=diag（Ak1，A2k，…，Aks），
在矩阵A可逆时，上式对所有整数都成立.
证明留作习题.
例3.10 设方阵
，且As和Ct都是可逆方阵，证明：P可逆，并求P-1.
解：若P可逆，则P的逆矩阵一定是s+t阶方阵，不妨记为Q.把Q按和P相同的方式分块为
其中Q11，Q22分别是s和t阶方阵，则有(https://www.chuimin.cn)
比较可知
AQ11+BQ21=Es （3.25）
AQ12+BQ22=O （3.26）
CQ21=O （3.27）
CQ22=Et （3.28）
由C可逆，式（3.28）两端左乘C-1，有Q22=C-1.采用同样的方法，可见Q21=O，又由式（3.25）可得Q11=A-1，最后由式（3.26）可得Q12=-A-1BC-1.
由于
所以，
对于分块矩阵仍然可以进行初等变换，相应地还可以定义分块初等矩阵.
称下列三种类型的变换为分块矩阵的第一、二、三类初等变换：
（1）对调分块矩阵中任意两行（列）的位置；
（2）以一可逆矩阵左（右）乘分块矩阵中的某一行（列）；
（3）以矩阵K左（右）乘分块矩阵中某一行（列）后加到另一行（列）上去.
分块矩阵的初等行变换与初等列变换统称为分块矩阵的初等变换.对于一个分块s阶单位矩阵E=diag（E1，E2，…，Es）有下面的三种分块初等矩阵：
E（i（K））=diag（E1，…，K，…，Es）（K为可逆矩阵），
对于分块矩阵依然可以进行初等变换，其规则与普通矩阵的初等变换规则一样，但是需要注意的是矩阵的左乘与右乘是不相同的.
例3.11 利用分块矩阵的初等行变换求解例3.10.
解：构造分块矩阵
把这个矩阵的第一行左乘A-1，第二行左乘C-1，得到
把这个矩阵的第二行左乘-A-1s×sBs×t后加到第一行上，得到
所以，
这时有等式
其中，我们可以得到
习题
3.5.1. 证明定理3.8.
3.5.2. 证明定理3.9.
3.5.3. 利用例3.10的结果计算下列矩阵的逆矩阵.
3.5.4. 满足条件ATA=AAT=E的n阶方阵，称为正交矩阵.证明：若A是正交矩阵，则矩阵
也是正交矩阵.
3.5.5. 设U，V都是n阶正交矩阵，D为r<n阶可逆矩阵.证明：如果
那么
3.5.6. 设
是一个n阶方阵，证明：
而An=E.
3.5.7. 设A，C分别是m阶和n阶方阵，求证：矩阵
也可逆，并求其逆矩阵.
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2025-09-29
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