矩阵初等变换及相抵定理原理介绍

2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：初等变换对于矩阵来说是最重要的运算.初等变换到底改变了什么呢？，Ps，Q1，Q2，…，Qt，满足条件P=P1P2…Qt.因此，我们可以得到关系式P1P2…Qt=B. 由命题3.2得到，式就表明，矩阵A可以通过一系列的行与列的初等变换化为矩阵B.证毕.定理3.4m×n阶矩阵A必可相抵于一个形如的矩阵，该矩阵中除了a11，a22，…

初等变换对于矩阵来说是最重要的运算.初等变换到底改变了什么呢？为了研究这个问题，需要引入一种矩阵之间的等价关系——相抵关系.

定义3.11 矩阵A和B是同型的m×n阶矩阵，如果存在m阶可逆方阵P及n阶可逆方阵Q，使得PAQ=B，则称矩阵A和B是相抵的.

命题3.3 矩阵的相抵关系是一个等价关系，即满足如下三个关系：

（1）反身性矩阵A和它自身相抵；

（2）对称性如果A和B是相抵的，则B和A也是相抵的；

（3）传递性如果A和B相抵，B和C相抵，则A和C相抵.

证明：因为EAE=A，所以A和它自身相抵.

如果A和B是相抵的，则存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B，则有P^-1BQ^-1=A，即B和A也是相抵的.

如果A和B相抵，B和C相抵，则存在可逆矩阵P，Q，P₁，Q₁，使得

PAQ=B，P₁BQ₁=C，

则有等式

P₁PAQQ₁=C，

即矩阵A和矩阵C相抵.证毕.

命题3.4 如果矩阵A和矩阵B相抵，则矩阵A可以经过一系列的行和列的初等变换化为矩阵B.

证明：由于矩阵A和矩阵B相抵，由定义3.11可以知道一定存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B.由定理3.3可以知道一定存在两列初等矩阵

P₁，P₂，…，P_s，Q₁，Q₂，…，Q_t，

满足条件

P=P₁P₂…P_s，Q=Q₁Q₂…Q_t.

因此，我们可以得到关系式

P₁P₂…P_sAQ₁Q₂…Q_t=B. （3.23）(www.chuimin.cn)

由命题3.2得到，式（3.23）就表明，矩阵A可以通过一系列的行与列的初等变换化为矩阵B.证毕.

定理3.4m×n阶矩阵A必可相抵于一个形如

的矩阵，该矩阵中除了a₁₁，a₂₂，…，a_rr是1以外，其余元素均为0，r是一个非负整数.

此定理的证明和定理3.3的证明非常类似，从略.

在定理3.4中和A相抵的矩阵

称为A在相抵下的标准形，简称相抵标准形，关于相抵标准形有如下重要定理.

定理3.5 矩阵在相抵之下的标准形是唯一的，即定理3.4中的r是唯一确定的.

证明：用反证法.设矩阵A有两个不同的相抵标准形

和

I_r，I_s中1的个数分别是r个和s个，且r>s.由于相抵是等价关系，因此I_r，I_s两个矩阵是相抵的，即存在可逆矩阵P，Q，使得PI_r=I_sQ，即

这里，P=（p_ij）_m，Q=（q_ij）_n.在式（3.24）中右边矩阵的最后m-s行全为零.因此，当s+1≤i≤m，1≤j≤r时p_ij=0.于是，矩阵

但此时，P是不可逆的，与假设矛盾.因此，r≤s.同理s≤r，即可知r=s，即I_r=I_s.证毕.

定义3.12 在矩阵的相抵标准形中，1的个数称为该矩阵的秩，记作秩A或者rankA.

定理3.4与定理3.5表明秩是矩阵在初等变换之下固有的性质，且是一个重要的不变量.很显然，零矩阵的秩为零，n阶单位阵的秩是n.

习题

3.4.1. 求出下列矩阵的秩和相抵标准形.

3.4.2. 若A，B都是m×n阶矩阵，则A和B相抵的充分必要条件是它们有相同的秩.

3.4.3. 对下列各矩阵A，用矩阵的初等变换求出一组可逆矩阵P，Q，使得PAQ等于A的相抵标准形.

矩阵初等变换及相抵定理原理介绍

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