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2023-11-22
高等代数：矩阵初等变换的操作方法
【摘要】：，Ps，使得对所得矩阵再进行列的初等变换，变为即存在一些初等方阵Q1，Q2，…P2P1E=A-1.由于在矩阵的左边乘上一个初等方阵P，相当于对这个矩阵作一个与P相对应的初等行变换.上面两个等式表明，对A依次作P1，P2，…
最重要的矩阵运算是矩阵的初等变换.观察例3.2的解决过程可以看到，在解方程组的过程中，需要对方程组作三种变换，即交换两个方程的位置、将一个非零数乘在一个方程上、将一个方程乘以一个数加到另外一个方程上.矩阵的初等变换正是针对这三种对方程组的操作引入的.
定义3.9 矩阵的初等行变换是指对一个矩阵进行如下三种运算之一.
（1）交换矩阵的第i行和第j行的位置，称为第一类初等行变换，记作P（i，j）；
（2）把矩阵的第i行所有元素乘以一个非零常数k，称为第二类初等行变换，记作P（i（k））；
（3）把矩阵的第j行的所有元素乘以k，加到第i行的对应元素上，称为第三类初等行变换，记作P（i，j（k））.
类似地，可以定义初等列变换.矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换.
定义3.10 由单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等方阵.初等方阵有如下三类：
（1）n阶单位矩阵En交换第i行和第j行所得到的矩阵称为第一类初等方阵，记作E（i，j）；
（2）把n阶单位矩阵En的第i行乘以一个非零常数k，所得到的矩阵称为第二类初等方阵，记作E（i（k））；
（3）把n阶单位矩阵En的第j行所有元素乘以k，加到第i行上所得到的方阵称为第三类初等方阵，记作E（i，j（k））.
三种类型的初等矩阵的形式是
命题3.1 初等方阵都是可逆的，且
（1）E（i，j）-1=E（i，j）；
（3）E（i，j（k））-1=E（i，j（-k））.
命题的证明留作习题.这个命题表明初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵.
命题3.2 对矩阵Am×n作一次初等行变换相当于在矩阵Am×n的左侧乘以一个该初等变换对应的m阶初等方阵.对矩阵Am×n作一次初等列变换相当于在矩阵Am×n的右侧乘以一个该初等变换对应的n阶初等方阵.
命题的证明留作习题.
利用矩阵的初等变换可以深入研究可逆矩阵.我们首先给出矩阵可逆的充分必要条件.
定理3.3 方阵A可逆的充分必要条件是A可以写成有限个初等方阵的乘积.
证明：充分性.若P1，P2，…，Ps是初等方阵，且A=P1P2…Ps.由定理3.2，有A可逆且
A-1=Ps-1…P2-1P1-1.
必要性.为证明必要性，需要一个简单的结论：若方阵A的第i行（列）的元素全是零，则对任何方阵B，AB（BA）的第i行（列）的元素也全是零.因此，A是不可逆的.
记可逆矩阵A=（aij）n×n，则A的第一列元素不能全为零，否则A将不可逆.若ai1≠0，则将A左乘E（1，i）可使第一行第一列位置的元素不为零.故可设a11≠0，则可通过若干次行初等变换，使A化为如下形式：
也就是说，存在一些初等方阵P1，P2，…，Ps，使得
对所得矩阵再进行列的初等变换，变为
即存在一些初等方阵Q1，Q2，…，Qt，使得
记上式右端矩阵为A1，则A1必是可逆矩阵.因此，A1的第二列元素不全是零.
类似于上述方法，可将a22化为1，并利用它把第二行和第二列的其他元素均化为零.如此下去，显见，可以将A最终化为单位阵.即存在初等方阵P1，…，Ps′，Q1，…，Qt′，使得
Ps′…P1AQ1…Qt′=E，
也就是
A=P1-1…Ps′-1Qt′-1…Q1-1.
又由于初等方阵的逆还是初等方阵，因此必要性得证.证毕.
逆矩阵的求法
若n阶方阵A可逆，则其逆矩阵A-1也是可逆矩阵.从而，A-1就是若干初等方阵的乘积，即有初等方阵P1，P2，…，Ps，使得(www.chuimin.cn)
A-1=Ps…P2P1.
这样，就有
Ps…P2P1A=E
及
Ps…P2P1E=A-1.
由于在矩阵的左边乘上一个初等方阵P，相当于对这个矩阵作一个与P相对应的初等行变换.上面两个等式表明，对A依次作P1，P2，…，Ps相对应的初等行变换，结果得到的是单位方阵E.同时，对单位方阵E作完全相同的初等行变换，所得到的结果应该是Ps…P2P1E，这恰好是A的逆矩阵A-1.
由以上分析，可以得到这样的结论，如果我们对方阵A和单位阵E作相同的初等行变换，那么，在A变成单位阵E时，单位阵E就变成方阵A的逆矩阵.这样可以得到一个求n阶方阵A的逆矩阵的方法：先构造一个n行2n列的矩阵，其左边是方阵A，右边是单位阵E，即（A︙E），为了清晰起见，用竖线把左右分开.对这个矩阵作行的初等变换，最后，当左半部分变为单位阵时，右半部分就是A的逆矩阵.
注意竖线毫无实质性的意义，只是为了让我们更容易看清左右两部分而已.
例3.8 用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵.
解：（1）构造矩阵（A︙E），并进行初等行变换有
因此，三阶矩阵
的逆矩阵是
（2）构造矩阵（A︙E），并进行初等行变换有
因此，矩阵
的逆矩阵是
例3.9 求适合矩阵方程
的矩阵X.
解：从方程中解出X有
与用初等行变换求矩阵的逆矩阵十分相似，可以用初等行变换计算这个矩阵乘积，从而求出X.构造下面矩阵并施行初等行变换得到
因此，
习题
3.3.1. 证明命题3.1.
3.3.2. 证明命题3.2.
3.3.3. 利用矩阵的初等变换计算下列矩阵的逆矩阵.
3.3.4. 计算下列n阶方阵的逆矩阵.
3.3.5. 把下列方阵写成初等矩阵的乘积.
3.3.6. 解下列矩阵方程.
3.3.7. 以
为列可以组成多少个可逆的三阶方阵？它们的逆矩阵分别是什么？
3.3.8. 给矩阵
添加一列，使得到的新矩阵
是可逆的.你可以找出多少组满足条件的x，y，z？为什么？
3.3.9. 给矩阵
添加一列，使得到的三阶方阵可逆.
3.3.10. 给矩阵
添加两列，使得到的四阶方阵可逆.你能把你的方法推广到一般情况吗？
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