在数学中，有许多概念是不定义概念，如几何学中的点、线、面等概念.集合与元素是集合论的基本概念，也是一对不定义概念.集合论是著名的德国数学家George Cantor（1845—1918）在19世纪后期创立的，之后作为一种基本的数学语言和强有力的研究工具渗透到数学的每一个分支，成为全部数学研究的基础.所谓集合就是由具有某种性质的个体所组成的一个整体，其中的个体都称之为元素.例如，2008年北京奥运会......
2025-09-30
高等代数：对称多项式及其应用
【摘要】：，xn的对称多项式称为n元初等对称多项式.通常，这n个初等对称多项式依次记作σ1，σ2，…，σn.初等对称多项式是最基本的对称多项式.在一元多项式根与系数的关系中，就会自然地出现初等对称多项式.以x1，x2，…，xn的初等对称多项式.证明：存在性.设对称多项式f（x1，x2，…
本节讨论一种重要的多元多项式——对称多项式，并且研究用初等对称多项式表示对称多项式的方法.
定义2.13 若f（x1，x2，…，xn）是一个n元多项式，对1，2，…，n的任意一个排列i1，i2，…，in都有
则称f（x1，x2，…，xn）为n元对称多项式.
例如，
x3+y3+z3-3xyz，
x41+x42+x43+x44-3x1x2x3-3x2x3x4-3x1x3x4-3x1x2x4
都是对称多项式.
定义2.14n个未定元x1，x2，…，xn的对称多项式
称为n元初等对称多项式.
通常，这n个初等对称多项式依次记作σ1，σ2，…，σn.初等对称多项式是最基本的对称多项式.在一元多项式根与系数的关系中，就会自然地出现初等对称多项式.以x1，x2，…，xn为根的一元多项式是
（x-x1）（x-x2）…（x-xn）=xn-σ1xn-1+…+（-1）iσixn-i+…+（-1）nσn.
此外，显然有
引理2.7 对称多项式的和、差、积都是对称多项式.
证明留作习题.
关于对称多项式有重要的对称多项式基本定理.
定理2.19 （对称多项式基本定理） 任意对称多项式都可以唯一地用初等对称多项式表示，或者说，如果f（x1，x2，…，xn）是对称多项式，那么一定存在n元多项式g（y1，y2，…，yn），使得
f（x1，x2，…，xn）=g（σ1，σ2，…，σn），
其中σ1，σ2，…，σn是关于变量x1，x2，…，xn的初等对称多项式.
证明：存在性.设对称多项式f（x1，x2，…，xn）按照字典排列法的首项是
那么必然有
k1≥k2…≥kn. （2.48）
作关于x1，x2，…，xn的多项式
则h1是对称多项式，且首项恰好是
这样就知道f1=f-h1是对称多项式且首项后于f的首项.对多项式f1重复上述做法，并且一直继续下去，最后我们将得到一串对称多项式
f0=f，f1=f0-h1，f2=f1-h2，…，
且fi的首项后于fi-1的首项.
但是，后于（k1，k2，…，kn）的序列是有限的，因此，上面的做法必然在某步之后终止，即会有某个自然数m使得fm是零.这时，显然有
f=h1+h2+…+hm. （2.50）
由于每一个h都是σ1，σ2，…，σn的多项式，因此，存在多项式g（y1，y2，…，yn），使得
f（x1，x2，…，xn）=g（σ1，σ2，…，σn）.
唯一性.设g1（y1，y2，…，yn），g2（y1，y2，…，yn）是两个n元多项式，使得
f（x1，x2，…，xn）=g1（σ1，σ2，…，σn）=g2（σ1，σ2，…，σn）.
作多项式
g∗（y1，y2，…，yn）=g1（y1，y2，…，yn）-g2（y1，y2，…，yn），
则有
g∗（σ1，σ2，…，σn）=0. （2.51）
若g∗（y1，y2，…，yn）≠0，不妨设
其中，a，b，…，c全不为零，且所有的单项式彼此不是同类项.考察多元多项式g∗（σ1，σ2，…，σn），由
并注意到式（2.52）中没有同类项，可以知道
的首项互不相同，因此g∗（σ1，σ2，…，σn）≠0，与式（2.51）矛盾.故此，多元多项式g∗（y1，y2，…，yn）只能是零多项式，即g1（y1，y2，…，yn）=g2（y1，y2，…，yn）.证毕.
定理2.19的证明是构造性的，可以按照定理证明中给出的方法求出多项式g.再注意到证明中f1的首项一定是后于f的首项的，因此在具体计算过程中，可以先找出全部后于f的首项，并构造出它们所对应的多项式h，然后利用待定系数法计算出全部h的系数.这样可以避免大量的多项式乘法计算.
例2.27 将对称多项式x5+y5+z5用初等对称多项式表示出来.
解：关于变量组x，y，z的初等对称多项式为
σ1=x+y+z，σ2=xy+yz+zx，σ3=xyz.
第一步，找到后于x5的项，共有五个，即
x5，x4y，x3y2，x3yz，x2y2z.
由它们可以构造出多项式h，如下：
σ51，σ31σ2，σ1σ22，σ21σ3，σ2σ3.
由定理2.19的式（2.50）可以知道
x5+y5+z5=a1σ51+a2σ31σ2+a3σ1σ22+a4σ21σ3+a5σ2σ3， （2.53）
其中，a1，a2，a3，a4，a5是一组待定系数.
第二步，由定理2.19知道，系数a1，a2，a3，a4，a5是唯一确定的，故下面来确定这些系数即可.
令x=1，y=z=0，则有σ1=1，σ2=σ3=0，代入式（2.53）得到a1=1.
令x=1，y=1，z=-2，则有σ1=0，σ2=-3，σ3=-2，代入式（2.53）得到a5=-5.
令x=y=2，z=-1，则有σ1=3，σ2=0，σ3=-4，代入式（2.53）得到a4=5.
令x=1，y=1，z=0，则有σ1=2，σ2=1，σ3=0，代入式（2.53）得到
4a2+a3=-15. （2.54）
令x=y=z=1，则有σ1=3，σ2=3，σ3=1，代入式（2.53）得到
3a2+a3=-10. （2.55）
联立式（2.54）、式（2.55）两式并求解得到a2=-5，a3=5.
因此，我们有
x5+y5+z5=σ51-5σ31σ2+5σ1σ22+5σ21σ3-5σ2σ3.
例2.28 将n元对称多项式∑x21x22用初等对称多项式表示出来.
解：关于变量组x1，x2，…，xn的初等对称多项式为(https://www.chuimin.cn)
第一步，找到后于x21x22的项，共有三个，即
x21x23，x21x2x3，x1x2x3x4.
由它们可以构造出多项式h，如下：
σ22，σ1σ3，σ4.
由定理2.19的式（2.50）可以知道
∑x21x22=a1σ22+a2σ1σ3+a3σ4， （2.56）
其中，a1，a2，a3是一组待定系数.
第二步，由定理2.19知道，系数a1，a2，a3是唯一确定的，故下面来确定这些系数即可.
令x1=x2=1，x3=…=xn=0，则有σ1=2，σ2=1，σ3=…=σn=0，代入式（2.56）得到a1=1.
令x1=x2=x3=1，x4=…=xn=0，则有σ1=3，σ2=3，σ3=1，σ4=…=σn=0，代入式（2.56）得到a2=-2.
令x1=x2=x3=x4=1，x5=…=xn=0，则有σ1=4，σ2=6，σ3=4，σ4=1，σ5=…=σn=0，代入式（2.56）得到a3=2.
因此，我们有
∑x21x22=σ22-2σ1σ3+2σ4.
例2.29 证明：如果一个三次多项式x3+ax2+bx+c的一个根的平方是其余两个根的平方和，那么这个多项式的系数满足关系：
a4（a2-2b）=2（a3-2ab+2c）2. （2.57）
证明：记多项式的三个根为x1，x2，x3，其一个根的平方是其余两个根的平方和等价于恒等式
（x21-x22-x23）（x22-x23-x21）（x23-x21-x22）≡0 （2.58）
成立.
作对称函数
f（x1，x2，x3）=（x21-x22-x23）（x22-x23-x21）（x23-x21-x22），
并记x1，x2，x3的初等对称多项式为
σ1=x1+x2+x3，
σ2=x1x2+x2x3+x3x1，
σ3=x1x2x3.
下面，我们首先把对称函数f用σ表示出来.容易看到对称函数f是齐次函数，且首项为x61，因此后于它的项有七个，分别为
x61，x51x2，x41x22，x41x2x3，x31x32，x31x22x3，x21x22x23.
利用定理2.19可以知道，由它们产生的对称多项式为
σ61，σ41σ2，σ21σ22，σ31σ3，σ32，σ1σ2σ3，σ23.
因此，
f（x1，x2，x3）=a1σ61+a2σ41σ2+a3σ21σ22+a4σ31σ3+a5σ23+a6σ1σ2σ3+a7σ23， （2.59）
其中，ai，1≤i≤7是一组待定系数.
下面决定全部的系数ai.
令x1=1，x2=-1，x3=0，则σ1=0，σ2=-1，σ3=0，代入式（2.59），可以得到a5=0.
令x1=1，x2=1，x3=-2，则σ1=0，σ2=-3，σ3=-2，代入式（2.59），可以得到a7=8.
令x1=1，x2=0，x3=0，则σ1=1，σ2=0，σ3=0，代入式（2.59），可以得到a1=1.
令x1=2，x2=2，x3=-1，则σ1=3，σ2=0，σ3=-4，代入式（2.59），可以得到a4=8.
令x1=1，x2=1，x3=0，则σ1=2，σ2=1，σ3=0，代入式（2.59），可以得到4a2+a3=-16.
令x1=1，x2=2，x3=0，则σ1=3，σ2=2，σ3=0，代入式（2.59），可以得到9a2+2a3=-38.联立上面的方程得到a2=-6，a3=8.
最后，令x1=1，x2=1，x3=1，则σ1=3，σ2=3，σ3=1，代入式（2.59），可以得到a6=-16.
综合上面的计算可以得到
f（x1，x2，x3）=σ61-6σ41σ2+8σ21σ22+8σ31σ3-16σ1σ2σ3+8σ23. （2.60）
在本题中，由多项式根与系数的关系可以知道，
σ1=-a，σ2=b，σ3=-c，
代入式（2.60）得到
a6-6a4b+8a2b2+8a3c-16abc+8c2=0.
简单计算可以知道这就是我们需要证明的等式.证毕.
习题
2.9.1. 证明一个n元多项式f（x1，x2，…，xn）是对称多项式的充分必要条件是，对任意的自然数1≤i<j≤n总有
f（x1，…，xi，…，xj，…，xn）=f（x1，…，xj，…，xi，…，xn）.
2.9.2. 证明：对称多项式的和、差、乘积仍然是对称多项式.
2.9.3. 将下列对称多项式表示为初等对称多项式的多项式形式.
（1）x3+y3； （2）x5+5x3y2+5x2y3+y5；
（3）x3+y3+z3-3xyz；（4）（2x-y-z） （2y-z-x）（2z-x-y）；
（5）x2（y+z）+y2（x+z）+z2（x+y）； （6）x4+y4+z4.
2.9.4. 将下列对称多项式表示为初等对称多项式σ1，σ2，…，σn的多项式.
2.9.5. 将下列对称函数用初等对称多项式表示.
2.9.6. 设x1，x2，x3是多项式x3-3x+1的三个根，求以（x1-x2）2，（x2-x3）2，（x3-x1）2为根的多项式.
2.9.7. 若α是多项式x2-3x+1的根，而β是多项式x2+x+4的根，求以α+β为根的有理系数多项式.
2.9.8. 令F[x1，x2，…，xn]是数域F上的多元多项式环，S是其上的所有对称多项式的集合，证明：存在从F[x1，x2，…，xn]到S的双射.
2.9.9. 设α1，α2，…，αn是某数域F上的多项式
xn+a1xn-1+…+an-1x+an
在复数域内的全部根.证明：α2，…，αn的每个对称多项式都是可以表示成F上关于α1的多项式.
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