，As都是方阵，那么形如的分块矩阵称为分块对角矩阵，简称分块对角阵，可以简单地记作diag（A1，A2，…，Es）有下面的三种分块初等矩阵：E=diag（E1，…......
2023-11-22
高等代数：对称多项式及其应用
【摘要】：，xn的对称多项式称为n元初等对称多项式.通常，这n个初等对称多项式依次记作σ1，σ2，…，σn.初等对称多项式是最基本的对称多项式.在一元多项式根与系数的关系中，就会自然地出现初等对称多项式.以x1，x2，…，xn的初等对称多项式.证明：存在性.设对称多项式f（x1，x2，…
本节讨论一种重要的多元多项式——对称多项式，并且研究用初等对称多项式表示对称多项式的方法.
定义2.13 若f（x1，x2，…，xn）是一个n元多项式，对1，2，…，n的任意一个排列i1，i2，…，in都有
则称f（x1，x2，…，xn）为n元对称多项式.
例如，
x3+y3+z3-3xyz，
x41+x42+x43+x44-3x1x2x3-3x2x3x4-3x1x3x4-3x1x2x4
都是对称多项式.
定义2.14n个未定元x1，x2，…，xn的对称多项式
称为n元初等对称多项式.
通常，这n个初等对称多项式依次记作σ1，σ2，…，σn.初等对称多项式是最基本的对称多项式.在一元多项式根与系数的关系中，就会自然地出现初等对称多项式.以x1，x2，…，xn为根的一元多项式是
（x-x1）（x-x2）…（x-xn）=xn-σ1xn-1+…+（-1）iσixn-i+…+（-1）nσn.
此外，显然有
引理2.7 对称多项式的和、差、积都是对称多项式.
证明留作习题.
关于对称多项式有重要的对称多项式基本定理.
定理2.19 （对称多项式基本定理） 任意对称多项式都可以唯一地用初等对称多项式表示，或者说，如果f（x1，x2，…，xn）是对称多项式，那么一定存在n元多项式g（y1，y2，…，yn），使得
f（x1，x2，…，xn）=g（σ1，σ2，…，σn），
其中σ1，σ2，…，σn是关于变量x1，x2，…，xn的初等对称多项式.
证明：存在性.设对称多项式f（x1，x2，…，xn）按照字典排列法的首项是
那么必然有
k1≥k2…≥kn. （2.48）
作关于x1，x2，…，xn的多项式
则h1是对称多项式，且首项恰好是
这样就知道f1=f-h1是对称多项式且首项后于f的首项.对多项式f1重复上述做法，并且一直继续下去，最后我们将得到一串对称多项式
f0=f，f1=f0-h1，f2=f1-h2，…，
且fi的首项后于fi-1的首项.
但是，后于（k1，k2，…，kn）的序列是有限的，因此，上面的做法必然在某步之后终止，即会有某个自然数m使得fm是零.这时，显然有
f=h1+h2+…+hm. （2.50）
由于每一个h都是σ1，σ2，…，σn的多项式，因此，存在多项式g（y1，y2，…，yn），使得
f（x1，x2，…，xn）=g（σ1，σ2，…，σn）.
唯一性.设g1（y1，y2，…，yn），g2（y1，y2，…，yn）是两个n元多项式，使得
f（x1，x2，…，xn）=g1（σ1，σ2，…，σn）=g2（σ1，σ2，…，σn）.
作多项式
g∗（y1，y2，…，yn）=g1（y1，y2，…，yn）-g2（y1，y2，…，yn），
则有
g∗（σ1，σ2，…，σn）=0. （2.51）
若g∗（y1，y2，…，yn）≠0，不妨设
其中，a，b，…，c全不为零，且所有的单项式彼此不是同类项.考察多元多项式g∗（σ1，σ2，…，σn），由
并注意到式（2.52）中没有同类项，可以知道
的首项互不相同，因此g∗（σ1，σ2，…，σn）≠0，与式（2.51）矛盾.故此，多元多项式g∗（y1，y2，…，yn）只能是零多项式，即g1（y1，y2，…，yn）=g2（y1，y2，…，yn）.证毕.
定理2.19的证明是构造性的，可以按照定理证明中给出的方法求出多项式g.再注意到证明中f1的首项一定是后于f的首项的，因此在具体计算过程中，可以先找出全部后于f的首项，并构造出它们所对应的多项式h，然后利用待定系数法计算出全部h的系数.这样可以避免大量的多项式乘法计算.
例2.27 将对称多项式x5+y5+z5用初等对称多项式表示出来.
解：关于变量组x，y，z的初等对称多项式为
σ1=x+y+z，σ2=xy+yz+zx，σ3=xyz.
第一步，找到后于x5的项，共有五个，即
x5，x4y，x3y2，x3yz，x2y2z.
由它们可以构造出多项式h，如下：
σ51，σ31σ2，σ1σ22，σ21σ3，σ2σ3.
由定理2.19的式（2.50）可以知道
x5+y5+z5=a1σ51+a2σ31σ2+a3σ1σ22+a4σ21σ3+a5σ2σ3， （2.53）
其中，a1，a2，a3，a4，a5是一组待定系数.
第二步，由定理2.19知道，系数a1，a2，a3，a4，a5是唯一确定的，故下面来确定这些系数即可.
令x=1，y=z=0，则有σ1=1，σ2=σ3=0，代入式（2.53）得到a1=1.
令x=1，y=1，z=-2，则有σ1=0，σ2=-3，σ3=-2，代入式（2.53）得到a5=-5.
令x=y=2，z=-1，则有σ1=3，σ2=0，σ3=-4，代入式（2.53）得到a4=5.
令x=1，y=1，z=0，则有σ1=2，σ2=1，σ3=0，代入式（2.53）得到
4a2+a3=-15. （2.54）
令x=y=z=1，则有σ1=3，σ2=3，σ3=1，代入式（2.53）得到
3a2+a3=-10. （2.55）
联立式（2.54）、式（2.55）两式并求解得到a2=-5，a3=5.
因此，我们有
x5+y5+z5=σ51-5σ31σ2+5σ1σ22+5σ21σ3-5σ2σ3.
例2.28 将n元对称多项式∑x21x22用初等对称多项式表示出来.
解：关于变量组x1，x2，…，xn的初等对称多项式为(www.chuimin.cn)
第一步，找到后于x21x22的项，共有三个，即
x21x23，x21x2x3，x1x2x3x4.
由它们可以构造出多项式h，如下：
σ22，σ1σ3，σ4.
由定理2.19的式（2.50）可以知道
∑x21x22=a1σ22+a2σ1σ3+a3σ4， （2.56）
其中，a1，a2，a3是一组待定系数.
第二步，由定理2.19知道，系数a1，a2，a3是唯一确定的，故下面来确定这些系数即可.
令x1=x2=1，x3=…=xn=0，则有σ1=2，σ2=1，σ3=…=σn=0，代入式（2.56）得到a1=1.
令x1=x2=x3=1，x4=…=xn=0，则有σ1=3，σ2=3，σ3=1，σ4=…=σn=0，代入式（2.56）得到a2=-2.
令x1=x2=x3=x4=1，x5=…=xn=0，则有σ1=4，σ2=6，σ3=4，σ4=1，σ5=…=σn=0，代入式（2.56）得到a3=2.
因此，我们有
∑x21x22=σ22-2σ1σ3+2σ4.
例2.29 证明：如果一个三次多项式x3+ax2+bx+c的一个根的平方是其余两个根的平方和，那么这个多项式的系数满足关系：
a4（a2-2b）=2（a3-2ab+2c）2. （2.57）
证明：记多项式的三个根为x1，x2，x3，其一个根的平方是其余两个根的平方和等价于恒等式
（x21-x22-x23）（x22-x23-x21）（x23-x21-x22）≡0 （2.58）
成立.
作对称函数
f（x1，x2，x3）=（x21-x22-x23）（x22-x23-x21）（x23-x21-x22），
并记x1，x2，x3的初等对称多项式为
σ1=x1+x2+x3，
σ2=x1x2+x2x3+x3x1，
σ3=x1x2x3.
下面，我们首先把对称函数f用σ表示出来.容易看到对称函数f是齐次函数，且首项为x61，因此后于它的项有七个，分别为
x61，x51x2，x41x22，x41x2x3，x31x32，x31x22x3，x21x22x23.
利用定理2.19可以知道，由它们产生的对称多项式为
σ61，σ41σ2，σ21σ22，σ31σ3，σ32，σ1σ2σ3，σ23.
因此，
f（x1，x2，x3）=a1σ61+a2σ41σ2+a3σ21σ22+a4σ31σ3+a5σ23+a6σ1σ2σ3+a7σ23， （2.59）
其中，ai，1≤i≤7是一组待定系数.
下面决定全部的系数ai.
令x1=1，x2=-1，x3=0，则σ1=0，σ2=-1，σ3=0，代入式（2.59），可以得到a5=0.
令x1=1，x2=1，x3=-2，则σ1=0，σ2=-3，σ3=-2，代入式（2.59），可以得到a7=8.
令x1=1，x2=0，x3=0，则σ1=1，σ2=0，σ3=0，代入式（2.59），可以得到a1=1.
令x1=2，x2=2，x3=-1，则σ1=3，σ2=0，σ3=-4，代入式（2.59），可以得到a4=8.
令x1=1，x2=1，x3=0，则σ1=2，σ2=1，σ3=0，代入式（2.59），可以得到4a2+a3=-16.
令x1=1，x2=2，x3=0，则σ1=3，σ2=2，σ3=0，代入式（2.59），可以得到9a2+2a3=-38.联立上面的方程得到a2=-6，a3=8.
最后，令x1=1，x2=1，x3=1，则σ1=3，σ2=3，σ3=1，代入式（2.59），可以得到a6=-16.
综合上面的计算可以得到
f（x1，x2，x3）=σ61-6σ41σ2+8σ21σ22+8σ31σ3-16σ1σ2σ3+8σ23. （2.60）
在本题中，由多项式根与系数的关系可以知道，
σ1=-a，σ2=b，σ3=-c，
代入式（2.60）得到
a6-6a4b+8a2b2+8a3c-16abc+8c2=0.
简单计算可以知道这就是我们需要证明的等式.证毕.
习题
2.9.1. 证明一个n元多项式f（x1，x2，…，xn）是对称多项式的充分必要条件是，对任意的自然数1≤i<j≤n总有
f（x1，…，xi，…，xj，…，xn）=f（x1，…，xj，…，xi，…，xn）.
2.9.2. 证明：对称多项式的和、差、乘积仍然是对称多项式.
2.9.3. 将下列对称多项式表示为初等对称多项式的多项式形式.
（1）x3+y3； （2）x5+5x3y2+5x2y3+y5；
（3）x3+y3+z3-3xyz；（4）（2x-y-z） （2y-z-x）（2z-x-y）；
（5）x2（y+z）+y2（x+z）+z2（x+y）； （6）x4+y4+z4.
2.9.4. 将下列对称多项式表示为初等对称多项式σ1，σ2，…，σn的多项式.
2.9.5. 将下列对称函数用初等对称多项式表示.
2.9.6. 设x1，x2，x3是多项式x3-3x+1的三个根，求以（x1-x2）2，（x2-x3）2，（x3-x1）2为根的多项式.
2.9.7. 若α是多项式x2-3x+1的根，而β是多项式x2+x+4的根，求以α+β为根的有理系数多项式.
2.9.8. 令F[x1，x2，…，xn]是数域F上的多元多项式环，S是其上的所有对称多项式的集合，证明：存在从F[x1，x2，…，xn]到S的双射.
2.9.9. 设α1，α2，…，αn是某数域F上的多项式
xn+a1xn-1+…+an-1x+an
在复数域内的全部根.证明：α2，…，αn的每个对称多项式都是可以表示成F上关于α1的多项式.
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