，xn的对称多项式称为n元初等对称多项式.通常，这n个初等对称多项式依次记作σ1，σ2，…，σn.初等对称多项式是最基本的对称多项式.在一元多项式根与系数的关系中，就会自然地出现初等对称多项式.以x1，x2，…，xn的初等对称多项式.证明：存在性.设对称多项式f（x1，x2，…......
2023-11-22
多项式的根及其在高等代数中的应用
【摘要】：+a1α+a0∈F称为多项式f在x=α处的值，记作f（α）=anαn+an-1αn-1+…，αn+1是n次多项式f的不同的根.显然，x-αi一定两两互素，因此，f=q…，考虑多项式两端的次数可以看到只有f=0.证毕.推论2.6 若两个n次多项式在n+1个不同的点取值相同，则它们必相等.证明：设f，g是数域F上的n次多项式，且在n+1个不同的点αi，i=1，2，…
设f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0是数域F上的多项式，α是数域F中的一个元素，那么anαn+an-1αn-1+…+a1α+a0∈F称为多项式f（x）在x=α处的值，记作
f（α）=anαn+an-1αn-1+…+a1α+a0.
这样，我们就可以利用数域F上的多项式f（x）在数域F上定义一个多项式函数f（x），并且这样定义的多项式函数与通常使用的函数是一样的.
定义2.9 设f（x）是数域F上的多项式，若f（x）在点x=α的值f（α）=0，则称x=α是多项式f（x）的根或零点；或称α是方程f（x）=0的根或解.
定理2.7（余数定理） 设r是一个常数，则多项式f（x）除以x-r的余式是f（r）.
证明：由带余除法，存在多项式q（x）以及常数c使得
f（x）=（x-r）q（x）+c，
令x=r代入求值即可以得到c=f（r）.证毕.
定理2.8 一次多项式x-r整除多项式f（x）的充分必要条件是f（r）=0.
例2.14 设f（x）=x3-x2+x-1，由于f（1）=0，所以x-1|f（x）.
例2.15 给出一个多项式可以分别被x，x-1和x+1整除的判别条件.
解：考虑利用定理2.8.可得如下结果：
（1）多项式f（x）可以被x整除的充分必要条件是f（x）的常数项是零.
（2）多项式f（x）可以被x-1整除的充分必要条件是f（x）的系数和是零.
（3）多项式f（x）可以被x+1整除的充分必要条件是f（x）的奇次项系数和与偶次项系数和相等.
推论2.4 数域F上的n次多项式至多有n个不同的根.
证明：设f（x）是数域F上的多项式，对f（x）的次数n使用归纳法.
当n=1时，f（x）显然在F内有一个根，命题成立.假设当degf（x）=n≤k时，f（x）在F内至多有n个根，那么当degf（x）=n=k+1时，若f（x）在F内没有根，则命题成立；若f（x）在F内有一个根α，那么由余数定理可以得到
f（x）=（x-α）f1（x），
这里degf1（x）=k，由归纳假设f1（x）至多有一个根，因此f（x）在F内至多有k+1个根.由归纳法知命题总是正确的.证毕.
推论2.5 如果数域F上的n次多项式在F上有n+1个不同的根，则它恒等于零.
证明：若α1，α2，…，αn+1是n次多项式f（x）的不同的根.显然，x-αi一定两两互素，因此，
f（x）=q（x）（x-α1）（x-α2）…（x-αn+1），
考虑多项式两端的次数可以看到只有f（x）=0.证毕.
推论2.6 若两个n次多项式在n+1个不同的点取值相同，则它们必相等.
证明：设f（x），g（x）是数域F上的n次多项式，且在n+1个不同的点αi，i=1，2，…，n+1取值相同，即f（αi）=g（αi）.作多项式h（x）=f（x）-g（x），那么h（αi）=0，i=1，2，…，n+1，因此，h（x）=0即f（x）=g（x）.证毕.
若r是多项式f（x）的一个根，则f（x）可以写成f（x）=（x-r）mg（x）的形式，这里m≥1，且g（r）≠0，称r是f（x）的m重根，m称为根r的重数.当m≥2时，r称为重根；当m=1时，r称为单根.
推论2.7 数域F上的n次多项式在F内至多有n个根（重数计算在内）.
例2.16 求一个三次多项式f（x），使得f（x）+1能被（x-1）2整除；而f（x）-1能被（x+1）2整除.
解：设三次多项式f（x）=a3x3+a2x2+a1x+a0，因为f（x）-1能被（x+1）2整除，知-1是多项式f（x）-1的二重根，即f（x）-1及其形式导数在-1的值均为零，因此，
-a3+a2-a1+a0-1=0， （2.22）(www.chuimin.cn)
3a3-2a2+a1=0. （2.23）
同理，由（x-1）2整除f（x）+1，有
a3+a2+a1+a0+1=0， （2.24）
3a3+2a2+a1=0. （2.25）
式（2.25）减去式（2.23）得
a2=0；
式（2.22）加上式（2.24）得
a0=-a2=0.
代入式（2.24）、式（2.25）两式得
a3+a1=-1，3a3+a1=0，
解得
即
习题
2.5.1. 计算下列多项式分别除以x-2和x+1的余式.
（1）x3-7x2+8x-9； （2）2x3+3x2+6x+5；
（3）x4-3x3+4x2-2x-4； （4）x6-x5+x4-x3+x2-x+1.
2.5.2. 判断r是否为多项式f（x）的根.
（1）f（x）=7x3+8x2-24x+9，r=1，-1；
（2）
；
（3）f（x）=2x2-（2-7i）x-（6+3i），r=1-2i，i.
2.5.3. 确定2作为多项式x5-5x4+7x3-2x2+4x-8的根的重数.
2.5.4. 确定-2作为多项式x5+7x4+16x3+8x2-16x-16的根的重数，并求出这个多项式的全部根.
2.5.5. 确定系数a，使得-1是多项式x5-ax2-ax+1的重数不低于2的根.
2.5.6. 如果x-1|f（xn），那么xn-1|f（xn）.
2.5.7. 证明：1是多项式x2n-nxn+1+nxn-1-1的三重根.
2.5.8. 证明：多项式
没有重根.
2.5.9. 设f（x）=x4+x3-1，g（x）=x4-x3-2x2+1，证明：如果f（x）=0，那么必有g（x2）=0.
2.5.10. 设p（x）是一个n次多项式，且
，0≤k≤n，计算：p（n+1）.
2.5.11. 多项式f（x）可约的充分必要条件是多项式f（x+a）可约.
有关高等代数的文章
- 详细阅读
-
高等代数中的分块矩阵及其应用详细阅读
，As都是方阵，那么形如的分块矩阵称为分块对角矩阵，简称分块对角阵，可以简单地记作diag（A1，A2，…，Es）有下面的三种分块初等矩阵：E=diag（E1，…......
2023-11-22
-
高等代数中的特征多项式与最小多项式详细阅读
定理10.2 若f（λ）是n阶方阵A的特征多项式，则f=0.证明：设B（λ）是n阶方阵λE-A的伴随矩阵，则利用伴随矩阵的性质有B（λ）=f（λ）E.由于B（λ）的元素都是方阵λE-A的n-1阶子式，因此，都是λ的次数最多是n-1次多项式.这样，B（λ）可以写成如下形式：B（λ）=λn-1B0+λn-2B1+…+an-1A+anE=O.证毕.推论10.1 设线性变换σ的特征多项式是f（λ），那么f（σ）=0.注意 这里f（σ）是一个线性变换.定理10.3 设n阶方阵A的特征多项式是λn+a1λn-1+…......
2023-11-22
-
高等代数：多项式的有理与整系数详细阅读
一个有理系数多项式anxn+…，bn的最大公因数是1.这样的工作总是能够完成的，如我们可以先形式上通分，然后把分母以及分子系数的公因数同时提出.由此可见，有理系数多项式anxn+…+b1x+b0的因式分解问题.以下我们只讨论整系数多项式的因式分解问题.首先我们引入本原多项式的概念.定义2.10 若整系数非零多项式f=anxn+…......
2023-11-22
-
高等代数：多项式因式分解详细阅读
所谓多项式的因式分解就是把一个多项式写成一些次数较低的多项式的乘积的形式.如同整数的算术基本定理一样，本节将证明数域上的一元多项式环中的唯一分解定理.定义2.7 设f（x）是数域F上的非常数多项式，若存在数域F上的两个非常数多项式g（x），h（x），使得f（x）=g（x）h（x），则称f（x）是数域F上的可约多项式.否则，f（x）就称为数域F上的不可约多项式.多项式是否可约和数域F的选取密切相关.......
2023-11-22
-
高等代数：多项式的带余除法运算详细阅读
正如整数的除法在整数范围内不能畅通无阻地进行一样，多项式的除法也不是总可以进行的.但是，我们可以类似于整数的带余除法引入多项式之间的带余除法运算.定理2.1 设f（x），g（x）是数域F上的两个多项式，且g（x）≠0，则存在数域F上的多项式q（x），r（x），使得f（x）=q（x）g（x）+r（x）， （2.7）其中r（x）=0或者degr（x）
2023-11-22
-
Chebyshev多项式的应用及其在信息安全详细阅读
基于混沌的公钥加密已经得到了初步的发展，其中以Chebyshev混沌映射的半群属性为基础的公钥方案尤为引人关注。Chebyshev多项式的定义为式中，x∈[-1，1]；T0=1；T1=x，则Tn称为n阶Chebyshev多项式。Chebyshev多项式还有一种三角函数的表达形式：Chebyshev多项式有两条重要的属性：1）半群属性：2）混沌属性：当n≥2时，Chebyshev多项式表现出混沌特性，具有正的Lyapunov指数lnn。基于Chebyshev多项式的半群属性设计的公钥方案的安全性是基于离散对数难题和Diffie-Hellman难题的。......
2023-11-22
-
标准正交基在高等代数中的重要性详细阅读
，αs线性无关.证毕.命题6.4说明在n维欧氏空间中不可能找到n+1个两两正交的非零向量.定义6.4 在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组是一组基，称为正交基.由单位向量组成的正交基，称为标准正交基.在n维欧氏空间V中，任选一组基α1，α2，…，αn出发，一定可以构造一组标准正交基β01，β02，…+xnyn.这个结果表明，在欧氏空间中内积是唯一确定的.另选一组标准正交基η1，η2，…......
2023-11-22
相关推荐