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机电应用数学探讨4.6双曲线的定义与标准方程

2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：回顾与思考我们知道，与两定点的距离的和为常数的点的轨迹是椭圆，那么与两定点的距离的差为常数的点的轨迹又是怎样的曲线？

回顾与思考

我们知道，与两定点的距离的和为常数的点的轨迹是椭圆，那么与两定点的距离的差为常数的点的轨迹又是怎样的曲线？这就是下面要讨论的问题.

1.双曲线的定义

平面内与两定点F₁，F₂的距离的差的绝对值等于常数2a（小于F₁F₂）点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距（见图4-21）.

注意：对于双曲线定义须抓住三点：

1）平面内的动点到两定点的距离之差的绝对值是一个常数；

2）这个常数要小于F₁F₂；

3）这个常数要是非零常数.

图4-21

2.双曲线的标准方程

取过焦点F₁，F₂的直线为x轴，线段F₁F₂的垂直平分线为y轴.设M（x，y）是双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2c（c>0），那么，F₁，F₂的坐标分别是（-c，0），（c，0）.又设点M与F₁和F₂的距离的差的绝对值等于常数2a.

根据双曲线的定义，找出动点P满足的条件，即

MF₁-MF₂=±2a

其中；

于是，得方程

化简，得（c²-a²）x²-a²y²=a²（c²-a²）

由双曲线的定义，2c>2a，即c>a，所以c²-a²>0，设c²-a²=b²（b>0），代入上式得

b²x²_-a2y2=a²b2

也就是

这个方程叫做双曲线的标准方程.

它所表示的双曲线其焦点在x轴上，焦点是F₁（-c，0），F₂（c，0），这里c²=a²+b2.

图4-22

如果双曲线的焦点在y轴上，如图4-22所示，焦点是F₁（0，c），F₂（0，-c），只要将前面方程的x、y互换就可以

得到它的方程

这个方程也是双曲线的标准方程.

注意：

1）a，b，c有关系式c²=a²+b²成立，且a>0，b>0，c>0；（其中，a与b的大小关系可以为a=b，a<b或a>b）(www.chuimin.cn)

2）焦点的位置：从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母x²，y²项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴，而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即x²项的系数是正的，那么焦点在x轴上，y²项的系数是正的，那么焦点在y轴上.

例1　判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出a，b，c的值.

分析：双曲线标准方程的格式：平方差，x²项的系数是正的，那么焦点在x轴上，x²项的分母是a²；y²项的系数是正的，那么焦点在y轴上，y²项的分母是a².

解：（1）是双曲线，

a=2，，；

（2）是双曲线，，，c=2；

（3）是双曲线，，b=2，；

（4）是双曲线，a=3，b=2，

例2　已知双曲线两个焦点的坐标为F₁（-5，0），F₂（5，0），双曲线上一点P到F₁（-5，0），F₂（5，0）的距离之差的绝对值等于6，求双曲线标准方程.

解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为

因为2a=6，2c=10，所以a=3，c=5， b²=5²-3²=16.

所求双曲线标准方程为

练习

1.判断下列双曲线的焦点位置，并指出焦点坐标与焦距.

2.求满足下列条件的双曲线的标准方程：

（1）a=4，b=3，焦点在x轴上；

（2）b=3，c=5，焦点在y轴上；

（3）焦距是16，a=6.

3.已知双曲线的方程是16x²-9y²=144，求它的焦点坐标及焦距.

习题六

1.根据下列条件，求双曲线的标准方程：

（1）a=25，经过点A（2，-5），焦点在y轴上；

（2）焦点坐标是（-6，0），（6，0），

2.证明：椭圆与双曲线x²-15y²=15的焦点相同.

3.已知双曲线的焦距为26，，求双曲线的标准方程.

4.双曲线2x²-y²=k的焦距是6，求k的值.