理解圆形的方程表示-机电应用数学

2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：观察与思考我们已经初步体会了用方程研究直线的便利和用直线反映相关方程的直观，那么其他曲线是否也可以建立与某一类方程之间的关系呢？

观察与思考

我们已经初步体会了用方程研究直线的便利和用直线反映相关方程的直观，那么其他曲线是否也可以建立与某一类方程之间的关系呢？

1.圆的标准方程

在平面几何中，我们知道圆的定义，即平面内到一个定点距离等于定长的点的轨迹.其中，定点叫做圆心，定长叫做半径.

下面我们根据圆的定义，来求圆心在C（a，b），半径为r的圆的方程.

如图4-12所示，设M（x，y）是圆周上任意一点，则点M满足条件

CM=r（r>0）

根据两点间距离公式，得

两边平方，得（x-a）2+（y-b）2=r²，

因此得到圆的标准方程

（x-a）2+（y-b）2=r2

图4-12

这就是圆心为C（a，b），半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程.

如果圆的圆心在原点O（0，0），即a=0，b=0.

这时圆的方程为x²+y²=r²

例1　已知圆心在点C（8，-3），并且该圆过点A（5，1），求圆C的标准方程.

解：设所求圆的标准方程为

（x-8）2+（y+3）2=r2

根据两点间距离公式，得

将r=5代入方程，得（x-8）2+（y+3）2=25

这就是所求圆C的标准方程.

例2　已知两点P₁（4，9）和P₂（6，3），求以P₁P₂为直径的圆的方程，并且判断点M（6，9），N（3，3），Q（5，3）是在圆上，在圆内，还是在圆外.

解：根据已知条件，圆心C（a，b）是P₁P₂的中点，则它的坐标为

再根据两点间距离公式，得圆的半径是

因此所求圆的方程是

（x-5）2+（y-6）2=10

分别计算点M（6，9），N（3，3），Q（5，3）与圆心C（5，6）的距离，得

因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内.

例3　如图4-13所示，在数控车床加工时，需编写程序，已知所在圆的半径R=15，圆的标准方程为x²+y²=15²，AB=22，求点A，B的坐标.

图4-13

解：由已知得点A的纵坐标为y=22÷2=11，代入圆方程，得

x²+11²=152

解得

因为点A，B在第二、三象限，

所以，

练习

1.圆x²+y²=4的圆心坐标是，半径是.

2.圆（x-2）2+（y+3）2=16的圆心坐标是，半径是.

3.圆（x+1）2+y²=6的圆心坐标是，半径是.

4.圆心在点（-1，2），半径是3的圆的标准方程是.

5.圆心在点（-2，0），半径是2的圆的标准方程是.

6.已知圆心在点C（2，1），并且这个圆过点A（-1，0），求圆C的标准方程.

7.已知M（-2，5），N（8，3），求以线段MN为直径的圆的标准方程.

2.圆的一般方程将圆的标准方程

（x-a）2+（y-b）2=r2

展开，得

x²+y²-2ax-2by+（a²+b²-r²）=0

设D=-2a，E=-2b，F=a²+b²-r²，可见任何一个圆的方程都可以化为如下形式

x²+y²+Dx+Ey+F=0

由题设知，，，将其代入F=a²+b²-r²，得

因为r>0，所以必有D²+E²-4F>0.

因此，当D²+E²-4F>0时，方程x²+y²+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程.

其中，圆心坐标是，半径是

对比二元二次方程Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0，圆的一般方程的特点是：

1）x²和y²的系数相同，且不等于0；

2）不含xy项.

圆的标准方程的特点是圆心坐标和半径在方程中显而易见，而圆的一般方程，从方程形式上看，较标准方程简练.

解题中，有时需要将圆的标准方程与一般方程进行互化.

把一般方程化为标准方程时，只需要用配方法或代入法，得到一般方程x²+y²+Dx+Ey+F=0配方后的公式：

例4　求圆x²+y²+6x-4y-12=0的圆心坐标和半径.(www.chuimin.cn)

解：将原方程化为（x+3）2+（y-2）2=25，

由此可知，圆的圆心坐标为（-3，2），半径为5.

例5　求圆心在y=-x上，且过两点（2，0），（0，-4）的圆的方程.

解：设圆心坐标为（a，b），则所求圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=r²，

因为圆心在y=-x上，所以

b=-a ①

又因为圆过（2，0），（0，-4），所以

（2-a）2+（0-b）2=r²②

（0-a）2+（-4-b）2=r²③

由①，②，③联立方程组，可得a=3，b=-3，r²=10.

故所求圆的方程为（x-3）2+（y+3）2=10.

练习

1.将下列圆的一般方程化为标准方程：

（1）x²+y²-6y=0；

（2）4x²+4y²-12x+16y+9=0.

2.将圆（x-3）2+（y+3）2=10的方程化为一般方程.

3.求圆x²+y²+8x-6y=0的圆心坐标和半径.

3.点、直线与圆的位置关系

（1）点与圆的位置关系

点与圆的位置关系如图4-14所示.其中，d表示点到圆心的距离，R表示圆的半径.

d=R⇔点在圆上（见图4-14a）；

d<R⇔点在圆内（见图4-14b）；

d>R⇔点在圆外（见图4-14c）.

图4-14

（2）直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系如图4-15所示.其中，d表示圆心到直线的距离，R表示圆的半径.

d=R⇔相切（见图4-15a）；

d<R⇔相交（见图4-15b）；

d>R⇔相离（见图4-15c）.

例6　判定直线l：3x+4y-1=0与圆C：（x-1）2+（y+2）2=9的位置关系.

解：根据圆C的标准方程为（x-1）2+（y+2）2=9可知圆的半径r=3，圆心为（1，-2），则圆心到直线3x+4y-1=0的距离为

因此直线l：3x+4y-1=0与圆C：（x-1）2+（y+2）2=9相交.

（3）圆与圆的位置关系

图4-15

圆与圆的位置关系如图4-16所示.其中，d表示圆心距，R和r分别表示两圆半径，且R>r.

d>R+r⇔相离（见图4-16a）；

d=R+r⇔外切（见图4-16b）；

d=R-r⇔内切（见图4-16c）；

R-r<d<R+r⇔相交（见图4-16d）.

图4-16

例7　求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x-4y-1=0相切的圆的方程.

分析：如图4-17所示，已知圆心坐标为C（1，3），故只要求出圆的半径，就能写出圆的标准方程.因为圆C和直线3x-4y-1=0相切，所以半径r就等于圆心C到这条直线的距离.

图4-17

解：根据点到直线的距离公式，得

因为圆心坐标C（1，3），

所以圆的方程是（x-1）2+（y-3）2=4.

练习

1.判定直线l：2x-y-5=0与圆C：x²+y²-4x+2y+2=0的位置关系.

2.判定直线l：3x+4y-25=0与圆C：x²+y²=5的位置关系.

3.求过点A（2，0）的圆x²+y²=1的切线的方程.

习题四

1.填空题.

（1）圆的标准方程为，其中圆心为，半径为；特别地，当圆心在原点时，圆的方程为.

（2）圆的一般方程为，它表示圆心在，半径为的圆.

2.求下列各圆的方程：

（1）半径是5，圆心在y轴上，且与直线y=6相切；

（2）过直线x+3y+7=0与3x-2y-12=0的交点，圆心为点C（-1，1）.

3.已知点（a+3，3a）在圆（x-3）2+y²=10上，求a的值.

4.已知点A（4，-6），B（-6，4），求以线段AB为直径的圆的方程.

5.求过点P（-2，-1）且与圆x²+y²+2x+2y+1=0相切的直线的方程.

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