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直线方程与倾斜角：机电应用数学导读

2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：1.直线的倾斜角与斜率（1）倾斜角观察图4-10，直线l在直角坐标系中与两条坐标轴有不同的夹角，规定：直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，叫做直线l的倾斜角.如图4-10中的α.注意：1）从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴绕交点按逆时针方向转到与直线重合时所成的角；2）规定：直线与x轴平行或重合时，直线的倾斜角为0°；3）直线倾斜角α的取值范围是：0°≤α<180°；4）在同一直

1.直线的倾斜角与斜率

（1）倾斜角

观察图4-10，直线l在直角坐标系中与两条坐标轴有不同的夹角，规定：直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，叫做直线l的倾斜角.如图4-10中的α.

注意：1）从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴绕交点按逆时针方向转到与直线重合时所成的角；

2）规定：直线与x轴平行或重合时，直线的倾斜角为0°；

3）直线倾斜角α的取值范围是：0°≤α<180°；

4）在同一直角坐标系下，任何一条直线都有倾斜角且唯一，倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.

图4-10

（2）斜率

倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，直线的斜率通常用k表示，即k=tanα（α≠90°）

注意：一条直线必有一个确定的倾斜角，但不一定有斜率，当α=0°时，k=0；当0°<α<90°时，k>0；当90°<α<180°时，k<0.即斜率的取值范围为k∈R.

练一练

若三条直线的倾斜角分别是30°，45°，60°，则它们的斜率各是多少？

（3）斜率公式

如图4-11所示，经过两点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）的直线的斜率公式为

注意：1）斜率公式与两点的顺序无关，即；

2）特别地，当y₁=y₂，且x₁≠x₂时，k=0，此时直线平行于x轴或与x轴重合；当y₁≠y₂，且x₁=x₂时，k不存在，此时直线的倾斜角为90°，直线与y轴平行或重合.

图4-11

例1　求经过A（-3，2）和B（-1，3）两点的直线的斜率.

解：将两点的坐标（-3，2）和（-1，3）代入斜率公式，得

例2　已知三点A（1，1），B（0，4），C（-1，7），证明：这三点在同一条直线上.

证明：因为，，所以k_AB=k_BC.所以这三点在同一条

直线上.

练习

1.直线l经过原点和点（4，-4），则它的倾斜角是.

2.直线倾斜角的范围是.

3.过点P（-3，m）和Q（m，-4）的直线的斜率为2，则m的值为.

4.直线l经过（-3，-4）和点（-1，-1），则它的斜率是

2.直线的方程

（1）点斜式

已知直线l上一点P₁（x₁，y₁），斜率为k，则直线l方程为y-y₁=k（x-x₁）

（2）斜截式

已知直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线l方程为

y=kx+b

（3）一般式

Ax+By+C=0（A，B不同时为零）

工具箱

一条直线与y轴交点的纵坐标，叫做这条直线在y轴上的截距.

一条直线与x轴交点的横坐标，叫做这条直线在x轴上的截距.

例3　已知直线l的倾斜角为30°，且经过点P₁（-5，1），求直线l的方程.

解：这条直线过点P₁（-5，1），其斜率为(www.chuimin.cn)

代入点斜式方程，得

化简得

故所求直线方程为

例4　已知直线l的斜率为-5，且在y轴上的截距为-3，求直线l的方程.

解：由斜截式方程得

y=-5x-3

化简得5x+y+3=0

故所求直线方程为5x+y+3=0

练习

1.求直线3x-3y+2=0的斜率.

2.求斜率为5，且经过点（3，-4）的直线方程.

3.求与y轴交于点（0，-2），且倾斜角为150°的直线方程.

3.两条直线的交点坐标

设两条直线分别为l₁：A₁x+B₁y+C₁=0，l₂：A₂x+B₂y+C₂=0，则l₁与l₂是否有交点，只要看方程组

是否有唯一解：

若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；

若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；

若方程组有无穷多解，则两直线重合.

例5　求直线x-y-4=0和x+y+2=0的交点.

解：解方程组，得

故交点为（1，-3）.

4.点到直线间的距离

已知点P₀（x₀，y₀），直线l：Ax+By+C=0（A，B不同时为0），则点P₀到直线l的距离为

当A=0或B=0时，上式仍成立.

注意：

1）若给出的方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离；

2）点到直线的距离是点到直线上的点的最短距离；

3）若点在直线上，则点到直线的距离为0，但距离公式仍然成立，因为此时Ax₀+By₀+C=0.

练习

1.求直线2x-y+4=0和x-2y+6=0的交点坐标.

2.点（2，-1）到直线x-y+1=0距离是.

3.已知点P（2，m）到直线l：4x-3y+2=0的距离为3，求m的值.

习题三

1.直线l经过原点和点（-1，-1），则它的倾斜角是（）.

2.下列两点所确定的直线的斜率为3的是（）.

A.M（2，5）， N（1，2） B.M（1，-3），N（-2，-5）

C.M（6，0）， N（-2，4） D.M（-5，4），N（4，1）

3.已知直线l的倾斜角为120°，且过点A（-3，5），求直线l的方程.

4.已知直线l过点（7，5），在y轴上的截距是-2，求直线l的方程.

5.求斜率为3，且过直线2x-3y+1=0与x-2y+2=0交点的直线方程.