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机电应用数学：任意点的空间坐标表达

2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M应如何用坐标表示呢？

建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M应如何用坐标表示呢？

如图4-3所示，设点M为空间的一个定点，过点M分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于点P，Q，R.设点P，Q，R在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x，y，z，那么就得到与点M对应唯一确定的有序实数组（x，y，z），有序实数组（x，y，z）叫做点M的坐标，记作M（x，y，z），这样就确定了点M的空间坐标，其中x，y，z分别叫做点M的横坐标、纵坐标、竖坐标.

图4-3

例1 如图4-4所示，在长方体OABC—A₁B₁C₁D₁中，OA=3，OC=4，OD₁=2，写出点D₁，C₁，A₁，B₁的坐标.

解：因为D₁在z轴正半轴上，OD₁=2，所以它的坐标为（0，0，2）.

因为C₁在平面xOz内，C₁D₁=OC=4，C₁C=OD₁=2，所以它的坐标为（4，0，2）.

因为A₁在平面yOz内，A₁D₁=OA=3，A₁A=OD₁=2，所以它的坐标为（0，3，2）.

因为B₁在平面xOy内，BC=OA=3，BA=OC=4，所以它的坐标为（4，3，2）.

图4-4

例2　已知正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁，E，F，G分别是DD₁，BD，BB₁之中点，且正方体棱长为1.请建立适当坐标系，写出正方体各顶点及E，F，G的坐标.

解：如图4-5所示，以D为原点建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0），A₁（1，0，1），B₁（1，1，1），C₁（0，1，1），D₁（0，0，1），，，

图4-5

练习

1.将空间直角坐标系画在纸上时，x轴与y轴、x轴与z轴均成，而z轴垂直于y轴，y轴和z轴的长度单位相等，x轴上的单位长度为y轴（或z轴）的长度的.

2.坐标轴上的点与坐标平面上的点的坐标的特点：(www.chuimin.cn)

x轴上的点的坐标的特点：P（，，），纵坐标和竖坐标都为零；

y轴上的点的坐标的特点：P（，，），横坐标和竖坐标都为零；

z轴上的点的坐标的特点：P（，，），横坐标和纵坐标都为零；

xOy坐标平面内的点的特点：P（，，），竖坐标为零；

xOz坐标平面内的点的特点：P（，，），纵坐标为零；

yOz坐标平面内的点的特点：P（，，），横坐标为零.

习题一

1.有下列叙述：

①在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标一定是（0，b，c）；

②在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是（0，b，c）；

③在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记作（0，0，c）；

④空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是（a，0，c）.

其中正确的个数是（）.

A.1　B.2　C.3　D.4

2.已知点A（-3，1，4），则点A关于原点的对称点的坐标为（）.

A.（1，-3，-4） B.（-4，1，-3） C.（3，-1，4） D.（4，-1，3）

3.在直角坐标系Oxyz中作出点P（1，1，1）和点Q（-1，1，-1）.