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机电应用数学：空间几何体直观图的绘制方法

2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：用来表示空间几何体的平面图形，叫做空间几何体的直观图.空间几何体的直观图要有立体感，往往需要改变其真实的形状.例如，正方体的各个面都是正方形，但在直观图中，有些面画成了平行四边形.在立体几何中，空间几何体的直观图通常是在平行投影下画出的空间图形.依据平行投影的性质画直观图的方法，国家已经规定了统一的标准.一种较为简单的画图标准是斜二测画法.（1）平面图形直观图的画法例1用斜二测画法画水平放置的正

用来表示空间几何体的平面图形，叫做空间几何体的直观图.空间几何体的直观图要有立体感，往往需要改变其真实的形状.例如，正方体的各个面都是正方形，但在直观图中，有些面画成了平行四边形.在立体几何中，空间几何体的直观图通常是在平行投影下画出的空间图形.依据平行投影的性质画直观图的方法，国家已经规定了统一的标准.一种较为简单的画图标准是斜二测画法.

（1）平面图形直观图的画法

例1　用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.

画法：1）在已知正六边形ABCDEF中，取对角线AD所在的直线为x轴，取对称轴GH所在的直线为y轴，两轴相交于点O.画对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′=45°.

2)以点0′为中点，在x′轴上取A′D′=AD，在y′轴上取.以点H′为中点画F′E′∥x′轴，并等于FE；再以G′为中点画B′C′∥x′轴，并等于BC.

3）连接A′B′、C′D′、D′E′、F′A′，所得到的六边形A′B′C′D′E′F′就是水平放置的正六边形ABCDEF的直观图（见图3-43）.

图3-43

上面画直观图的方法就叫做斜二测画法，这种画法的规则是：

①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′=45°（或135°）.它们确定的平面表示水平平面；

②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段；

③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半.

（2）空间几何体的直观图画法

空间几何体的直观图画法的规则，与平面图形的画法相比，只是多画了一个与x轴和y轴都垂直的z轴，并且平行于z轴的线段的平行性和长度都不变.在直观图上，平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和z′O′x′表示直立平面.

下面以正六棱柱为例，说明直棱柱的直观图的画法.

例2　用斜二测画法画正六棱柱的直观图.

画法：1）画轴.画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′=45°（或135°），∠x′O′z′=90°（见图3-44a）

2）画底面.按x′轴、y′轴画正六边形的直观图ABCDEF.

3）画侧棱.过A，B，C，D，E，F各点分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，FF′都等于侧棱长.

4）成图.依次连接A′，B′，C′，D′，E′，F′，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部

分改为虚线），得到六棱柱的直观图（见图3-44b）

图3-44

例3 画一个底面边长为5cm，高为11.5cm的正五棱锥的直观图，比例尺是

画法：1）画轴.画x′轴、y′轴、z′轴，记坐标原点为O′，使∠x′O′y′=45°，∠x′O′z′=90°（见图3-45a）.

2）画底面.按x′轴、y′轴画正五边形的直观图ABCDE，按比例尺取边长等于5÷5=1（cm），并使正五边形的中心对应于点O′.

3）画高线.在z′轴上取O′S=11.5÷5=2.3（cm）(www.chuimin.cn)

图3-45

4）成图.连接SA，SB，SC，SD，SE，并加以整理，就得到所画的正五棱锥的直观图（见图3-45b）.

生活经验告诉我们，水平放置的圆看起来非常像椭圆.在立体几何中，通常用正等测画法画圆的直观图椭圆.但由于画图比较复杂，在实际画圆的直观图时，通常使用不同尺寸的椭圆模板（见图3-46）.

会画圆的直观图，也就能画出圆柱和圆锥的直观图（见图3-47）.

图3-46

图3-47

实际作图中，为了简便，在不作严格要求时，画图时长度和角度可适当的选取，只要符合平行投影的要求，有一定的立体感就可以了.例如，三角形的投影一般还是三角形，长方形的投影一般为平行四边形.

练习

1.用斜二测画法画出习题图3-17中等边三角形和四边形水平放置的直观图.

习题图3-17

2.用斜二测画法画出长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm的长方体的直观图.

习题三

1.判断题.

（1）梯形的平行投影一定是梯形；（）

（2）正方形的平行投影一定是菱形；（）

（3）三角形的直观图是三角形；（）

（4）相等的线段在直观图中仍然相等.（）

2.用斜二测画法画出水平放置的一角为60°，边长为4cm的菱形的直观图.

3.画出底面边长为3cm，高为2.5cm的正三棱柱的直观图.

4.画出底面边长为1.5cm，高为3cm的正三棱锥的直观图.

5.画出底面半径为1.8cm，高为5cm的圆锥的直观图.