初中角度制与弧度制的区别

2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：在初中阶段，我们学习过角的度量，具体做法是将一个周角分成360等分.规定其中的每一等分为1度（°）的角，这种以“度（°）”为单位来度量角的制度就叫做角度制.在角度制下，1周角=360°，1平角=180°，1直角=90°.在数学和其他许多学科的研究中常常还应用到另一种度量角的制度——弧度制.弧度制就是以“弧度”为单位来度量角的制度.那么，弧度又是怎样的一种单位呢？

在初中阶段，我们学习过角的度量，具体做法是将一个周角分成360等分.规定其中的每一等分为1度（°）的角，这种以“度（°）”为单位来度量角的制度就叫做角度制.在角度制下，1周角=360°，1平角=180°，1直角=90°.

在数学和其他许多学科的研究中常常还应用到另一种度量角的制度——弧度制.弧度制就是以“弧度”为单位来度量角的制度.那么，弧度又是怎样的一种单位呢？

我们规定：在一个圆中，长度等于半径长的圆弧所对的圆的圆心角∠AOB就是1弧度的角.弧度记作rad.如图2-16所示，弧AB的长等于圆的半径r，那么弧AB所对的圆心角∠AOB就是1rad的角.又如图2-17所示，弧CD的长l=1.5r，那么，弧CD所对的圆心角∠COD就是1.5rad的角.

图2-16

图2-17

建立了弧度制后，任何一个角都可以用弧度制和角度制来度量，同一个角的度数和弧度数是不同的（零角除外）.

下面我们来研究弧度和度之间的换算关系.

一个周角等于360°，一个周角所对的弧长l=2πr（其中，r是圆的半径），就是一个圆周长，它的弧度数是

这就是说，一个周角等于360°，用弧度来度量它，等于2πrad，即360°=2πrad.因此得到弧度和角度的换算公式：

180°=πrad；

1弧度（1rad）≈57.3°；1°≈0.01745rad.

例1 分别将度（°）化成弧度（rad）、将弧度（rad）化成度（°）.

（1）60°；

（2）

解：

（1）；

工具箱

在角度制中，度、分、秒是60进制的，即1°=60′，1′=60″.

（2）

例2　按照下列要求，将67°30′化成弧度（rad）：

（1）精确值；

（2）精确到0.001的近似值.

解：（1）

因为，所以

（2）利用计算器：(www.chuimin.cn)

第一步：将计算器先设置为线性状态，按键；

第二步：将单位设置为“弧度”，即Rad状态，按键；

第三步：将结果的精确度设置为小数点的后3位，按键

依次按键：，

计算器显示

由于角有正角、负角和零角之分，我们规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，总之，任意一个角的弧度数是一个实数.于是，在弧度制下，角的集合和实数集R之间可以建立起这样的一种对应关系，即每一个角对应一个实数（即这个角的弧度数），不同的角对应不同的实数；反之，每一个实数对应一个角（即弧度数等于这个实数的角），不同的实数对应不同的角.如图2-18所示.

今后，如不产生混淆，用弧度作为单位表示角的大小时，“弧度”两字或“rad”可以省略不写.

例3　计算