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探索锐角三角函数，机电应用数学

2023-11-22 理论教育 版权反馈
【摘要】：探索直角三角形的边角关系直角三角形是我们生活中经常接触的图形，如果只知道直角三角形的一条边和一个锐角，你能求出其他的边和角吗？实例2：图2-5是两个自动扶梯，甲、乙两人分别从1号和2号自动扶梯上楼，谁先到达楼顶？练习1.在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6，求sinB，cosB，tanB.2.在△ABC中，∠C=90°，，BC=20，求△ABC的周长.试一试两块不同的三角尺中有几个不同的锐角？

探索直角三角形的边角关系

直角三角形是我们生活中经常接触的图形，如果只知道直角三角形的一条边和一个锐角，你能求出其他的边和角吗？

实例1：随着改革开放的深入，上海的城市建设正日新月异地发展，一幢幢大楼拔地而起.比如上海环球金融中心（见图2-4）就是上海的一座摩天大楼.你能应用数学知识和适当的途径得到金融中心的实际高度吗？

实例2：图2-5是两个自动扶梯，甲、乙两人分别从1号和2号自动扶梯上楼，谁先到达楼顶？如果AB和A′B′相等，∠α和∠β大小不同，那么它们的高度AC和A′C′相等吗？AB，AC，BC与∠α，A′B′，A′C′，B′C′与∠β之间有什么关系呢？

生活中除了上述两个实例，还有很多事情都与直角三角形的边和角有关，因此我们定义：

在Rt△ABC中（见图2-6），如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.

978-7-111-45466-3-Chapter02-23.jpg

图2-4

978-7-111-45466-3-Chapter02-24.jpg

图2-5

∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA，即978-7-111-45466-3-Chapter02-25.jpg

∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作

cosA，即978-7-111-45466-3-Chapter02-26.jpg

∠A的对边与∠A的邻边的比叫做∠A的正切（tangent），

记作tanA，即978-7-111-45466-3-Chapter02-27.jpg

∠A的正弦、余弦和正切统称∠A的三角函数.

978-7-111-45466-3-Chapter02-28.jpg

图2-6

注意：sinA，cosA，tanA都是一个完整的符号，单独的“sin”没有意义，其中A前面的“∠”一般可以省略不写.

例1　如图2-7所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，分别求∠A和∠B的正弦、余弦、正切.

分析：由勾股定理求出AC的长度，再根据直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系求出各函数值.

解：由勾股定理知，AC2=AB2-BC2=52-32=16，

所以AC=4.

因此978-7-111-45466-3-Chapter02-29.jpg，978-7-111-45466-3-Chapter02-30.jpg，978-7-111-45466-3-Chapter02-31.jpg，978-7-111-45466-3-Chapter02-32.jpg，978-7-111-45466-3-Chapter02-33.jpg，978-7-111-45466-3-Chapter02-34.jpg

978-7-111-45466-3-Chapter02-35.jpg

图2-7

想一想

在直角三角形中，∠C=90°，sinA与cosB有什么关系？

练习

1.在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6，求sinB，cosB，tanB.

2.在△ABC中，∠C=90°，978-7-111-45466-3-Chapter02-36.jpg，BC=20，求△ABC的周长.

试一试

两块不同的三角尺中有几个不同的锐角？分别是多少度？你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值吗？

通过计算，我们可以得到如下结论（见表2-3）.

表2-3

978-7-111-45466-3-Chapter02-37.jpg

例2　计算：

（1）sin30°+cos45°；

（2）sin260°+cos260°-tan45°；

（3）978-7-111-45466-3-Chapter02-38.jpg

解：（1）原式978-7-111-45466-3-Chapter02-39.jpg；

（2）原式978-7-111-45466-3-Chapter02-40.jpg；

（3）原式978-7-111-45466-3-Chapter02-41.jpg

练习

1.计算：(www.chuimin.cn)

（1）tan45°-sin30°；

（2）cos60°+sin45°-tan30°；

（3）978-7-111-45466-3-Chapter02-42.jpg

2.如习题图2-3所示，SO是等腰三角形SAB的高，已知∠ASB=120°，AB=54，求SO的长.

978-7-111-45466-3-Chapter02-43.jpg

习题图2-3

例3　图2-8是某机器零件的图形，求点B的坐标.

978-7-111-45466-3-Chapter02-44.jpg

图2-8

解：过点A作AC垂直于点B所在的直线BD，垂足为C.

由图2-8可知978-7-111-45466-3-Chapter02-45.jpg

（ϕ60，ϕ40为圆的直径）.

因此在直角三角形ABC中，∠BAC=180°-150°=30°.

因为978-7-111-45466-3-Chapter02-46.jpg，

所以978-7-111-45466-3-Chapter02-47.jpg，

978-7-111-45466-3-Chapter02-48.jpg

故点B的横坐标为978-7-111-45466-3-Chapter02-49.jpg，纵坐标为30.

习题二

1.填空题.

（1）如习题图2-4所示，在Rt△ABC中，∠C=90°.

978-7-111-45466-3-Chapter02-50.jpg

978-7-111-45466-3-Chapter02-51.jpg

习题图2-4

（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=9，b=12，则c=，

sinA=，cosA=，tanA=，

sinB=，cosB=，tanB=.

（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=30°，则∠B=，

sinA=，cosA=，tanA=，

sinB=，cosB=，tanB=.

（4）在Rt△ABC中，∠C=90°，已知978-7-111-45466-3-Chapter02-52.jpg，则cosA=.

2.选择题.

（1）已知：Rt△ABC中，∠C=90°，978-7-111-45466-3-Chapter02-53.jpg，AB=15，则AC的长是（ ）.

A.3 B.6 C.9 D.12

（2）下列各式中不正确的是（ ）.

A.sin260°+cos260°=1 B.sin30°+cos30°=1

C.sin35°=cos55°D.tan45°>sin45°

（3）计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（ ）.

978-7-111-45466-3-Chapter02-54.jpg

（4）在△ABC中，三边之比为a∶b∶c=1∶3∶2，则sinA+tanA等于（ ）.

978-7-111-45466-3-Chapter02-55.jpg

3.解答题.

（1）计算978-7-111-45466-3-Chapter02-56.jpg的值.

（2）已知，等腰△ABC的腰长为978-7-111-45466-3-Chapter02-57.jpg，底角为30°，求三角形底边上的高和周长.

（3）已知Rt△ABC中，∠C=90°，978-7-111-45466-3-Chapter02-58.jpg，BC=12，求AC，AB和cosB.

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