请说明理由．若矩形ABCD面积为6，求四边形BDEG的面积．（第9题）10．在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称……......
2023-07-03
求解问题：矩形画面如何镶嵌彩纸
【摘要】：引例某校团委准备举办学生绘画展览，为美化画面，在长30cm、宽20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原面积相等.想一想彩纸的宽度是多少？
引例
某校团委准备举办学生绘画展览，为美化画面，在长30cm、宽20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原面积相等.
想一想
彩纸的宽度是多少？
1.一元二次方程的定义
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一元二次方程通常可化成如下的一般形式：
ax2+bx+c=0（a≠0）.
其中，a，b，c是已知数（a≠0），我们把a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项.
2.一元二次方程的一般解法
（1）直接开平方法
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法.用直接开平方法解形如（x-m）2=n（n≥0）的方程.
例1 用直接开平方法解下列一元二次方程：
（1）（3x+1）2=9； （2）（3x-2）2=（x+4）2；
（3）9x2-24x+16=121； （4）（3x+2）（3x-2）=4.
解：（1）由（3x+1）2=9得
3x+1=±3（注意不要丢解）
由3x+1=3得
，
由3x+1=-3得
，
所以原方程的解为
，
（2）由（3x-2）2=（x+4）2得
3x-2=x+4或3x-2=-（x+4）
由3x-2=x+4得x1=3，
由3x-2=-（x+4）得
，
所以原方程的解为x1=3，
（3）由9x2-24x+16=121得
（3x-4）2=121
由3x-4=±11，
得x1=5，
，
所以原方程的解为x1=5，
（4）由（3x+2）（3x-2）=4得
9x2-4=4，即9x2=8
由
，
得
，
所以原方程的解为
，
（2）配方法
用配方法解方程ax2+bx+c=0（a≠0），应先将常数c移到方程右边，再将二次项系数化为1，变为
的形式.
例2 用配方法解下列一元二次方程：
（1）2x2-4x-2=0； （2）3x2-4x-2=0.
解：（1）2x2-4x-2=0
二次项系数化为1，移常数项得：x2-2x=1，
配方得：x2-2x+12=1+12，即（x-1）2=2，
直接开平方得：
，
，
所以原方程的解为
，
（2）3x2-4x-2=0
二次项系数化为1，移常数项得：
，
方程两边都加上一次项系数一半的平方得：
，
即
直接开平方得：
，即
，
，
所以原方程的解为
，
说明：配方法是一种基本的变形，解题中虽不常用，但作为一种基本方法要熟练掌握.
配方时应按下面的步骤进行：
先把二次项系数化为1，并把常数项移到等式的另一边；
再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
最后变为完全平方式利用直接开平方法即可完成解题任务.
（3）公式法
用公式法就是指利用求根公式
，使用时应先把一元二次方程化成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），然后计算判别式b2-4ac的值，当b2-4≥0时，把各项系数的值代入求根公式即可得到方程的根.但要注意当b2-4ac<0时，方程无实数解.
例3 用公式法解下列方程.
（1）3x2+4=7x；
（2）
解：（1）将3x2+4=7x化为一般式(www.chuimin.cn)
3x2-7x+4=0
求出判别式的值：Δ=b2-4ac=1>0.
代入求根公式：
，
所以
，x2=1.
（2）将
化为一般式
6x2+7x-3=0
求出判别式的值：Δ=b2-4ac=49+72=121>0.
代入求根公式
，
所以
，
说明：公式法可以用于解任何一元二次方程，在找不到简单方法时，即考虑化为一般形式后使用公式法.但在应用公式法时要先明确公式中的字母在题目中所表示的量，再求出判别式的值，解得的根还要进行化简.
（4）分解因式法
分解因式法是把方程一边变形为零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式.
例4 用分解因式法解下列方程：
（1）6x2+x-15=0； （2）（x+3）（x-6）=-8.
解：（1）将6x2+x-15=0左边分解成两个因式的积得：（2x-3）（3x+5）=0，
于是可得：2x-3=0，3x+5=0，
（2）将（x+3）（x-6）=-8化简为一般式得：
x2-3x-10=0
左边分解成两个因式的积得：（x+2）（x-5）=0，
于是可得：
所以x1=-2，x2=5.
练习
1.用直接开平方法解下列方程：
（1）x2=8；（2）3（x-3）2=0；
（3）x2-4x+3=0；（4）4（1-x）2-9=0.
2.用配方法解下列方程：
（1）x2-4x-1=0；
（2）
；
（3）3x2-4x-7=0；（4）2x2-18=3x.
3.用公式法解下列方程：
4.用因式分解法解下列方程：
（1）（x+1）2-2=0；（2）（x+2）2=2x+4；
（3）x2=6x；（4）2x2-9x-18=0.
5.选用适当的方法解下列方程：
（1）（x+1）（6x-5）=0；（2）
；
（3）2（x+5）2=x（x+5）；（4）x2-5x+2=0.
6.已知a-1=2，解关于x的方程（a-9）x2-4ax+1=5x-2ax2-2.
7.有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这两位数.
习题七
1.用直接开平方法解下列方程：
（1）x2-2=23；（2）4（x+5）2=28；
（3）x2-2x-3=0；（4）4（2+x）2-25=0.
2.用配方法解下列方程：
（1）x2-3x+1=0；（2）2x2+6=7x；
（3）3x2-9x+2=0.
3.用公式法解下列方程：
（1）2x2-9x+8=0；（2）9x2+6x+1=0；
（3）16x2+8x=3.
4.用因式分解法解下列方程：
（1）（4x-1）（5x+7）=0；（2）3x（x-1）=2-2x；
（3）（2x+3）2=4（2x+3）.
5.选用适当的方法解下列方程：
（1）（2x+1）2-3（2x+1）+2=0；（2）（2x-3）x-4（2x-3）=9；
（3）
；
（4）（2x+1）2=2（2x+1）.
6.有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数.
7.要做一个高是8cm，底面的长比宽多5cm，体积是528cm3的长方体木箱，问底面的长和宽各是多少？
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