求解cos(θ)＝0-虚拟现实辅助结构可装配性设计

2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：如果旋转矩阵的R31元素为1或-1，那么上述方法就不能起作用，这分别对应于θ=-π/2或θ=π/2，则cos(θ)=0。θ=π/2的情况:给定θ=π/2时，那么任何满足这些方程的ψ和φ都是有效的解。这种现象被称为gimbal锁。正如在本节中所展示的，在cos(θ)≠0的非退化情况下，有两种解决方案。对于cos(θ)=0的退化情况，则存在着无穷多的解。

如果旋转矩阵的R31元素为1或-1，那么上述方法就不能起作用，这分别对应于θ=-π/2或θ=π/2，则cos(θ)=0。当我们试图用上述方法求解ψ和φ的可能值时，就会出现问题，因为元素R11、R21、R32和R33都将为零，因此式(10-51)和式(10-54)将变为

在这种情况下，R11、R21、R32和R33并不能限制ψ和φ的值。因此，必须用旋转矩阵中不同的元素来计算ψ和φ的值。

θ=π/2的情况:给定θ=π/2时，那么

任何满足这些方程的ψ和φ都是有效的解。通过R12和R13的方程，我们发现

θ=-π/2的情况:毫不意外地，结果与上述相似，即

再一次，通过R12和R13的方程，我们发现

无论哪种情况:在θ=π/2和θ=-π/2两种情况下，ψ和φ是有联系的。这种现象被称为gimbal锁。虽然在这种情况下，问题的解有无数个，但在实践中，人们往往对寻找一个解感兴趣。为了完成这个任务，可以方便地设φ=0，然后如上所述计算ψ。

下面提供了一个例子，演示如何从旋转矩阵中计算ψ、θ和φ。假设被要求找出产生矩阵的欧拉角。(www.chuimin.cn)

首先找出θ的可能值为

然后，找出相应的ψ值为

最后找出φ值为

因此，解即为

值得注意的是，总是有不止一个关于三条主轴的旋转序列导致物体为同一方向。正如在本节中所展示的，在cos(θ)≠0的非退化情况下，有两种解决方案。对于cos(θ)=0的退化情况，则存在着无穷多的解。

举个例子，考虑一本书面朝上放在你面前的桌子上。令向右方向为x轴，远离你的方向为y轴，向上的方向为z轴。围绕y轴旋转π弧度，就会使书的封底朝上。另一种实现相同方向的方法是将书绕x轴旋转π弧度，然后再绕z轴旋转π弧度。因此，有不止一种方法可以实现所需的旋转。

求解cos(θ)＝0-虚拟现实辅助结构可装配性设计

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