回答是否定的，因为根据通解的定义，只有当c1，c2这两个常数相互独立时才是的通解.y1，y2在满足什么样的条件下，才能使得c1，c2相互独立呢？......
2023-11-20
高等数学：解二阶常系数线性齐次微分方程
【摘要】：一、线性微分方程解的性质与解的结构1.n阶线性微分方程形如y+p1y（n-1）+…
1.n阶线性微分方程
形如y（n）+p1（x）y（n-1）+…+pn-1（x）y′+pn（x）y=f（x）的方程称为n阶线性微分方程.其中，p1（x），…，pn（x），f（x）都是x的连续函数.
若f（x）≡0，则称为n阶线性齐次方程.反之，称为n阶线性非齐次方程.
当n=2时，方程变为二阶线性微分方程
y″+p1（x）y′+p2（x）y=f（x）.
下面以二阶线性微分方程为例讨论二阶线性微分方程的性质及解法.
2.二阶线性齐次方程解的性质
定理6.1 设y1，y2是二阶线性齐次方程的两个解，则y1与y2的线性组合
y=c1y1+c2y2
也是该方程的解.其中c1、c2是任意常数.
证 由假设有y″1+p1（x）y′1+p2（x）y1≡0，y″2+p1（x）y2′+p2（x）y2≡0，将y=C1y1+C2y2代入y″+p1（x）y′+p2（x）y=0，有
（C1y1+C2y2）″+p1（x）[C1y1+C2y2]′+p2（x）[C1y1+C2y2]=C1[y″+p1（x）y′1+p2（x）y1]+C2[y″2+p1（x）y2′+p2（x）y2].
由于上式右端方括号中的表达式都恒等于零，因而整个式子恒等于零，即y=C1y1+C2y2是方程的解.
如果
不恒等于非零常数，称为y1（x）与y2（x）线性无关的，否则称y1（x）与y2（x）线性相关.
例1 函数y1=ex与y2=e-x在任意区间上都是线性无关的.
事实上，比式
常数，在任意区间上都成立.
定理6.2 如果y1（x）与y2（x）是齐次方程的两个线性无关的解，则
y=C1y1+C2y2是该齐次方程的通解.
例2 由函数y1=x与y2=x2是方程x2y″-2xy′+2y=0（x>0）的解，易知y1与y2线性无关，所以方程的通解为y=C1x+C2x2.
3.线性非齐次方程解的结构
定理6.3 设y1（x）是非齐次方程的一个特解，y2（x）是相应的齐次方程的通解，则Y=y1（x）+y2（x）是非齐次方程的通解.
证 因为y1（x）是非齐次方程的解，即
y″1+p1（x）y′1+p2（x）y1=f（x），又因为y2（x）是相应的齐次方程的解，即
y″2+p1（x）y2′+p2（x）y2=0，对于Y=y1+y2有
因此y1+y2是方程是非齐次方程的解.又因为y2是方程对应齐次方程的通解，故y1+y2也含有两个任意常数，所以它是非齐次方程的通解.
定理6.4 （叠加原理）设y1（x）与y2（x）分别是方程
y″+p1（x）y′+p2（x）y=f1（x）
和
y″+p1（x）y′+p2（x）y=f2（x）的解，则y1（x）+y2（x）是方程y″+p1（x）y′+p2（x）y=f1（x）+f2（x）的解.二、二阶常系数线性齐次微分方程的解法
y″+py′+qy=0的特点：左端是y″，py′和qy三项之和，而右端为零.
什么样的函数具有这个特征呢？读者自然会想到指数y=erx（r为待定常数）.将y=erx，y′=rerx和y″=r2erx代入方程
y″+py′+qy=0，有
r2erx+prerx+qerx=0，即
erx（r2+pr+q）=0.
因为erx≠0，故必然有r2+pr+q=0.这是一元二次方程，它有两个根
因此，只要r1和r2分别为方程r2+pr+q=0的根，则y=er1x和y=er2x就都是方程y″+py′+qy=0的特解.代数方程r2+pr+q=0称为微分方程y″+py′+qy=0的特征方程，它的根称为特征根.
下面分三种情况讨论齐次方程的通解.
1.特征方程有两个相异实根r1和r2的情形
这时y1=er1x和y2=er2x就是齐次微分方程的两个特解，由于
=e（r1-r2）x≠
常数，所以y1、y2线性无关，故齐次微分方程的通解为y=c1er1x+c2er2x.
例3 求y″+3y′-4y=0的通解.
解 特征方程为r2+3r-4=（r+4）（r-1）=0，
特征根为r1=-4，r2=1.
故方程的通解为y=C1e-4x+C2ex.
2.特征方程有两个相等实根r=r1=r2的情形
这时仅得到齐次微分方程一个特解y1=erx，要求通解还需找一个与y1=erx线性无关的特解y2.
令
=u（x），其中，u（x）为待定函数.即y2=u（x）erx，则y2′=erx[ru（x）+u′（x）]，y″2=erx[r2u（x）+2ru′（x）+u″（x）]，
代入齐次微分方程，整理后得erx[u″（x）+（2r+p）u′（x）+（r2+pr+q）u（x）]=0.
因为erx≠0，且r为特征方程的二重根，故r2+pr+q=0且2r+p=0，于是上式成为u″（x）=0.取u（x）=x，则满足u″（x）=0，且
=x≠常数.故齐次微分方程的通解为(www.chuimin.cn)
y=C1erx+C2xerx=erx（C1+C2x）.
例4 求方程
满足初始条件：
的特解.
解 特征方程为r2+2r+1=0，特征根为r1=r2=-1，故方程通解为
s=e-t（C1+C2t）.以初始条件st=0=4代入上式，得C1=4，从而
s=e-t（4+C2t）.由
，
将
代入上式，得-2=C2-4，有C2=2.
所求特解为s=e-t（4+2t）.
3.特征方程有共轭复根r1=α+iβ，r2=α-iβ的情形
容易验证eαxcosβx、eαxsinβx也是齐次微分方程的特解，且它们是线性无关的.
因此齐次微分方程的通解为
y=eαx[C1cosβx+C2sinβx].
例5 求无阻尼自由振动的微分方程
的通解.
解 特征方程为r2+ω2=0，它有两个复根r=±iω，故方程的通解为
x=C1cosωt+C2sinωt.
三、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法
形如y″+py′+qy=f（x）（f（x）≠0）的方程称为二阶常系数线性非齐次微分方程.
由二阶线性非齐次微分方程解的结构定理知，只要求出它的一个特解和它对应相应的齐次方程的通解即可.
求非齐次方程的一个特解的方法如下.
1）若方程y″+py′+qy=f（x）的右端是f（x）=ϕ（x）eαx的形式，则方程具有形如y∗（x）=xkQ（x）eαx的特解，其中，Q（x）是与ϕ（x）同次的多项式，如果α是对应齐次方程的特征根，则式中的k是α的重数，如果α不是特征根，则k=0.
2）若方程y″+py′+qy=f（x）的右端是f（x）=（Acosβx+Bsinβx）eαx的形式，则方程具有形如y∗（x）=xk（Ecosβx+Fsinβx）eαx的特解，其中，E和F是待定系数，如果α+iβ是对应齐次方程的特征根，则式中的k=1，否则k=0.
例6 求2y″+y′+5y=x2+3x+2的一特解.
解 α=0，不是对应齐次方程的特征根，令方程的特解为
y∗（x）=ax2+bx+c（其中a，b，c是待定系数）.
则将y∗′=2ax+b，y∗″=2a，代入原方程，得
4a+（2ax+b）+5（ax2+bx+c）=x2+3x+2，或
5ax2+（2a+5b）x+（4a+b+5c）=x2+3x+2，比较系数得到方程组
解上面的方程组，得
所以方程的特解为
例7 求y″-3y′+2y=xex的通解.
解 与所给方程对应的齐次方程的特征方程为λ2-3λ+2=0，其根为λ1=2，λ2=1，因此对应齐次方程的通解为C1e2x+C2ex.
再求非齐次方程的特解，因α=1是特征方程的一重根，故设特解为
y∗=x（ax+b）ex，将y∗及y∗′，y∗″代入非齐次方程得
-2ax+（2a-b）=x，比较系数得到方程组
，解得
.
非齐次方程的特解为
.
所以原方程的通解为
.
例8 写出y″+6y′+9y=5e-3x的特解形式和通解形式.
解 特征方程λ2+6λ+9=0的特征根为λ1=λ2=-3.因为α=-3为特征方程的二重根，故特解形式为y∗（x）=Ax2e-3x，通解形式为Y=（C1+C2x）e-3x+Ax2e-3x
例9 求解方程y″+4y=2cos2x的通解.
解 对应齐次方程的特征方程为
λ2+4=0，特征根为λ=±2i，于是对应齐次方程通解为
y=C1cosx+C2sinx.
因为α+iβ=0+2i是特征根，故设特解为y∗=x（acos2x+bsin2x），代入原方程，得
4bcos2x-4asin2x=2cos2x.
比较系数得
于是
因此原方程的通解为
例10 求解方程y″-y=3e2x+2cos2x.
解 由定理6.3，可先将原方程分解为y″-y=3e2x和y″-y=2cos2x，这两个方程的特解为
所以所求特解为
于是所求方程的通解为
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