圆柱形容器中的定积分应用

2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：例10 在底面积为S的圆柱形容器中

一、定积分的元素法

从前面讨论过的曲边梯形的面积和变速直线运动的路程可以看出，定积分所解决的问题可归结为求与区间[a，b]上有关的量A，解决问题的步骤是：分割——近似代替——求和——取极限.这里的整体量A对于区间[a，b]具有可加性，即若把[a，b]分成若干个小区间[x_i-1，x_i]（i=1，2，…，n），就有，其中ΔA_i是对应于小区间[x_i-1，x_i]的局部量；可以近似地求出ΔA_i，即ΔA_i≈f（ξ_i）Δx_i（i=1，2，…，n），这里f（x）是已知函数，ξ_i∈[x_i-1，x_i]（i=1，2，…，n），并且满足：ΔA_i-f（ξ_i）Δx_i是比Δx_i更高阶的无穷小量（当Δx_i→0时），则A可以表示为定积分.

如果实际问题中的所求量A符合下列条件：

1）A是与一个变量的变化区间[a，b]有关的量；

2）A对于区间[a，b]具有可加性；

3）局部量ΔA_i的近似值可表示为f（ξ_i）Δx_i，这里f（x）是实际问题选择的函数.则该实际问题可以用定积分来解决.

解决步骤如下.

第一步：分割区间，写出微元.

分割区间[a，b]，取具有代表性的任意一个小区间（不必写出下标号），记作[x，x+dx]，设相应的局部量为ΔA，分析局部量ΔA，选择函数f（x），写出近似等式

ΔA≈dA=f（x）dx.

第二步：求定积分得整体量.

令Δx→0，对这些微元求和后取极限，得到的定积分就是所要求的整体量

上述方法称为定积分的元素法，又称微元法.

二、平面图形的面积

根据定积分几何意义，由曲线y=f（x）（f（x）≥0）和直线x=a，x=b以及y=0所围成的曲边梯形的面积；

由在区间[a，b]上的连续曲线y=f（x）（有的部分为正，有的部分为负），x轴及直线x=a与x=b所围成的平面图形的面积；

如果平面区域是由区间[a，b]上的两条连续曲线y=f（x）与y=g（x）及直线x=a与x=b围成（见图5-5a），则它的面积；

图5-5

如果平面区域是由区间[c，d]上的两条连续曲线x=φ（y）与x=Ψ（y）及直线y=c与y=d围成（见图5-5b），则它的面积.

例1 求由y=lnx，x轴及直线与x=2所围成的平面图形的面积（见图5-6）.

解已知在上，lnx≤0，在[1，2]上，lnx≥0

例2 求抛物线y²=2x和直线y=-x+4所围成的图形的面积（见图5-7）.

图5-6

图5-7

解先求抛物线和直线的交点，解方程组

解得交点为（2，2）和（8，-4）.

方法一：选x为积分变量，变化区间为[0，8]，面积为

方法二：选y作积分变量，则y的变化区间为[-4，2]，所求的面积为

由本例题可以看出，选择适当的变量可以使计算更加简便.

例3 求椭圆所围成的面积.

解此椭圆关于两个坐标轴都对称（见图5-8），故只需求它在第Ⅰ象限内的面积A₁，则椭圆的面积为.

利用椭圆的参数方程

图5-8

令x=acost，则y=bsint，dx=-asintdt

当a=b时，就得到圆的面积公式A=πa².

本例题中，参数方程所确定的函数的积分，实质是作了一次变量代换.

三、两种特殊立体的体积

1.平行截面面积为已知函数的立体的体积

设空间某立体是由一曲面和垂直于x轴的平面x=a和x=b围成（见图5-9）的，如果用过任意点x（a≤x≤b）且垂直于x轴的平面截立体所得到的截面面积是已知连续函数

S（x）（a≤x≤b），则此立体的体积为

例4 已知两个底半径为R的圆柱体垂直相交，求它们公共部分的体积.

解如图5-10所示，公共部分的体积为阴影部分体积的8倍，现考虑阴影部分体积.任意一个垂直于x轴的截面都为正方形，其边长为，因此截面面积为S（x）=R²-x²

所以

图5-9

图5-10

2.旋转体的体积

由连续曲线y=f（x）（x≥0）与直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转，所得的立体叫做旋转体（见图5-11）显然过点x（a≤x≤b）且垂直于x轴的截面是以f（x）为半径的圆，其面积是S（x）=πf²（x），于是得旋转体的体积为

类似地，由连续曲线x=φ（y）和直线y=c，y=d及y轴所围成曲边梯形绕y轴旋转所生成的旋转体的体积为

图5-11

例5 求椭圆分别绕x轴和y轴旋转所得旋转体的体积.

解（1）绕x轴旋转

这个旋转体是由半个椭圆及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体，所以

（2）绕y轴旋转

当a=b时，得半径为a的球体的体积：.

例6 求由圆（x-b）2+y²=a²（0<a<b）绕y轴旋转一周得到的旋转体的体积.

解将圆的方程改写为

如图5-12所示，右半圆的方程是

左半圆的方程是

图5-12

所求的旋转体（环体）的体积是分别以两个半圆为曲边的曲边梯形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积的差，即

四、平面曲线的弧长

由于平面上的光滑曲线弧是可求长的，故可用定积分来计算弧长.

1.直角坐标情形

已知曲线弧在直角坐标系下的方程为

y=f（x）（a≤x≤b），

其中，f（x）在[a，b]上有一阶连续导数.下面求该曲线弧的长度.

取x为积分变量，积分区间为[a，b]，在[a，b]上任取一个小区间[x，x+dx]，则弧微分公式为

故所求弧长为

如果曲线弧的方程为x=φ（y）（c≤y≤d），且φ（y）在[c，d]上有一阶连续导数.则取y为积分变量，积分区间为[c，d]，则弧微分公式为

故所求弧长为

例7 求曲线的弧长.

解因为.取x为积分变量，积分区间为，则弧长元素为

故所求弧长

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2.参数方程情形

已知曲线弧的参数方程为

其中，φ（t），ψ（t）在[α，β]上有连续导数，求该曲线的弧长.

取参数t为积分变量.则积分区间为[α，β]，则弧微分公式为

故所求弧长

例8 求曲线自t=0到t=1的一段弧的弧长.

解，则弧长元素

故所求弧长

3.极坐标情形

已知曲线弧的极坐标方程为

r=r（θ）（α≤θ≤β）.

其中，r（θ）在[α，β]上有连续导数，求该曲线弧的弧长.

由直角坐标与极坐标的关系

将θ看成参数，则弧长元素

故所求弧长为

例9 求曲线）的长度.

解

五、定积分在物理学上的应用

1.变力沿直线所做的功

常力沿直线所做的功已有公式可求，如果物体在运动过程中所受到的力是变化的，计算这种变力做功又如何计算呢？

例10 在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体.在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞（横截面积为S）从点a处推移到点b处.计算在移动过程中，气体压力所做的功.

图5-13

解取坐标系如图5-13所示，活塞的位置可以用坐标x来表示.由物理学知道，一定量的气体在等温条件下，压强p与体积V的乘积是常数k，即

在点x处，因为V=xS所以作用在活塞上的力为

取x为积分变量，变化区间为[a，b].当活塞从x移动到x+dx时，变力所做的功近似为，即功元素为

于是所求的功为

例11 设重度为10（kN/m³）、半径为r（m）的球浸在水中，且与水面相接，为将球从水中取出，需做多少功？

解如图5-14所示建立坐标系，则球的方程为x²+y²=r²，把球从水中取出，相当于把每一水平薄层提高2r，在提高2r时，所做的功分为两个过程：

1）将薄层提升至水面，因为球的重度为10（kN/m³），与水的重度相等，所以提升力为零，即不做功.

2）将薄层由水面提升到r+y处，提升力为此薄层的重力

dW=γπx²dy=10π（r²-y²）（r+y）dy

故需做功为

图5-14

2.水压力

从物理学知道，在水深为h处的压强为p=ρgh，这里ρ是水的密度.如果有一面积为A的平板水平地放置在水深为h处，那么平板一侧所受的水的压力为

P=p·A.

如果将这个平板铅直放置在水中，那么由于水深不同的点处压强p不相等，所以平板所受水的压力就不能用上述方法计算.

图5-15

例12 某闸门的形状与大小如图5-15所示，闸门的上部为矩形，下部为二次抛物线，当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的压力与闸门的下部承受的压力之比为5∶4，问闸门矩形部分的高应是多少？

解如图5-15所示，建立坐标系，则抛物线方程为y=x²，闸门矩形部分承受的压力为

其中，ρ是水的密度，g是重力加速度，闸门的下部承受的压力为

由题意知

得h=2，（舍）.

故h=2，即闸门矩形部分的高为2m.

3.引力

从物理学知道，质量分别为m₁、m₂，相距为r的两质点间的引力的大小为

其中，G为引力系数，引力的方向沿着两质点连线方向.

如果要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力的方向也是变化的，就不能用上述公式来计算.

例13 设有一长度为l、线密度为ρ的均匀细直棒，在其中垂线上距棒a单位处有一质量为m的质点M，试计算该棒对质点M的引力.

图5-16

解取坐标系如图5-16所示，使棒位于y轴上，质点M位于x轴上，棒的中点为原点O.由对称性知，引力在垂直方向上的分量为零，所以只需求引力在水平方向的分量.取y为积分变量，它的变化区间为.在上的y点取长为dy的一小段，其质量为ρdy，与M相距.于是在水平方向上，引力元素为

引力在水平方向的分量为

六、定积分在经济学中的应用

首先介绍几个相关概念.

已知某产品在时刻t的总产量的变化率为f（t），则从时刻t₁到时刻t₂的总产量为

已知边际成本C′（x）是产品的产量x的函数，则生产第x个单位产品的总成本为

已知总费用变化率f（x），其中，x是变量，则总费用为

已知某种新产品投入市场的销售速度为时间t的函数f（t），那么，在T个单位时间内，该产品的总销售量为

已知某产品产量为x时的边际收益为R′（x），总收益为R（x），销售量为x的平均收益为R（x），则

例14 已知某商品每周生产x单位时，总费用的变化率是f（x）=0.4x-12（元/单位），求总费用F（x）；如果这种产品的销售单价是20（元），求总利润L（x），并问每周生产多少单位时才能获得最大利润？

解总费用，

销售x单位商品得到的总收入为R（x）=20x.

又因为总利润L（x）=R（x）-F（x），

所以

L（x）=20x-（0.2x²-12x）=32x-0.2x².

令L′（x）=0，

即32-0.4x=0，得x=80，因此最大利润为

L（80）=32×80-0.2×80²=1280（元）.

例15 已知某产品的边际成本为C′（x）=2x²-3x+2（元/单位），求：

1）生产前6个单位产品的可变成本；

2）若固定成本C（0）=6（元），求前6个产品的平均成本；

3）求生产第10个到第15个单位产品时的平均成本.

解 1）生产前6个单位产品，即从生产第1个到第6个单位的可变成本为（元）.

2）.8（元/单位）.

圆柱形容器中的定积分应用

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