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定积分的换元积分法与分部积分法

2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：用牛顿—莱布尼茨公式计算定积分时，需要求出被积函数的原函数，由于用换元积分法和分部积分法可以求出一些函数的原函数，因此，在一定条件下，可以用换元积分法和分部积分法来计算定积分.下面讨论定积分的这两种计算方法.一、定积分的换元积分法定理5.6 若函数f（x）在区间[a，b]上连续，函数x=φ（t）在区间[α，β]上具有连续的导数，当t在区间[α，β]上变化时，x=φ（t）的值在[a，b]上变化，且φ

用牛顿—莱布尼茨公式计算定积分时，需要求出被积函数的原函数，由于用换元积分法和分部积分法可以求出一些函数的原函数，因此，在一定条件下，可以用换元积分法和分部积分法来计算定积分.下面讨论定积分的这两种计算方法.

一、定积分的换元积分法

定理5.6 若函数f（x）在区间[a，b]上连续，函数x=φ（t）在区间[α，β]上具有连续的导数，当t在区间[α，β]上变化时，x=φ（t）的值在[a，b]上变化，且φ（α）=a，φ（β）=b，则

证设F（x）是f（x）在[a，b]上的一个原函数，则

再设Φ（t）=F（φ（t）），对Φ（t）求导，得

即，Φ（t）是f（φ（t））φ′（t）的一个原函数，因此有

又由Φ（t）=F（φ（t）），φ（α）=a，φ（β）=b，可知

Φ（β）-Φ（α）=F（φ（β））-F（φ（α））=F（b）-F（a），所以

应用换元公式计算定积分应注意两点：1）用x=φ（t）把原来变量x代换成新变量t时，积分限也要换成相应于新变量t的积分限；2）求出f（φ（t））φ′（t）的一个原函数Φ（t）后，不必像计算不定积分那样再把Φ（t）变成原来变量x的函数，而只要把新变量t的上、下限分别代入Φ（t）中然后相减即可.

例1 计算.

解令t=lnx，则x=e^t，dx=e^t dt，于是

在例1中，如果不明显地写出新变量，那么定积分的上、下限就不要变更.现在用另一种记法计算如下：

例2 计算.

解令，则dx=acostdt，当x=0时，t=0；当x=a时，；于是

例3 计算.

解令，则，dx=tdt，当x=0时，t=1；当x=4时，t=3，于是

例4 设函数，求x.

解令x-1=t，则dx=dt，且当x=0时，t=-1；当x=2时，t=1，于是

例5 设函数f（x）在[-a，a]上连续，则

1）若f（x）是偶函数，则；2）若f（x）是奇函数，则0.

并由此计算.

证因为

在上式右端第一项中，令x=-t，则有

所以

1）当f（x）为偶函数时，f（-x）=f（x），则；2）当f（x）为奇函数时，即f（-x）=-f（x），则0.

在中，因为是在[-1，1]上连续的奇函数，x是在[-1，1]上连续的偶函数，所以

在中，由于被积函数的原函数不易求出，但积分区间对称，函数又在该区间上连续，则

例6 若f（x）在[0，1]上连续，证明：.(www.chuimin.cn)

证设，则

例7 若f（x）在[0，1]上连续，证明：，并由此计算.

证 .在上式右端第二项中，设π-x=t，则-dx=dt，

例8 设f（x）是以T（T>0）为周期的周期函数，则对任意常数a，证明：

证

在T，则

由于

所以

因为sinx是以π为周期的周期函数，所以

二、定积分的分部积分法

与不定积分的分部积分法类似，有下面的定理.

定理5.7 设u（x）与v（x）在区间[a，b]上连续可导，则有下面的分部积分公式成立

例9 计算.

解令，则x=t²，dx=2tdt，于是

例10 计算.

解设，则

移项，解得

例11 求，其中，n为非负整数.

解，.当n≥2时，

移项，得到I_n的递推公式

1）当n为偶数时，设n=2m，有

；

2）当n为奇数时，设n=2m+1，有

注：以后计算时可直接使用该公式，比如

例12 设.

解