一、原函数与不定积分定义4.1 设f（x）是定义在区间I上的函数，如果存在函数F（x），对于任意x∈I，都有F′（x）=f（x）或dF（x）=f（x）dx则称函数F（x）为函数f（x）在区间I上的一个原函数.例如，因为（sinx）′=cosx，则sinx是cosx的原函数.又因为（sinx+1）′=cosx，所以sinx+1也是cosx的原函数.由此例可以看出，一个函数若有原函数，则原函数可以不止......
2023-11-22
高等数学：定积分的概念和性质
【摘要】：一、引例1.曲边梯形的面积设函数y=f（x）在闭区间[a，b]上非负且连续，则曲线y=f（x）与直线x=a，x=b，y=0围成的图形（见图5-1）称为曲边梯形.求其面积A的基本思想是在很小的区间上用小矩形面积近似代替小梯形面积.图5-1第一步：分割.用一串分点a=x0＜x1＜…
一、引例
1.曲边梯形的面积
设函数y=f（x）在闭区间[a，b]上非负且连续，则曲线y=f（x）与直线x=a，x=b，y=0围成的图形（见图5-1）称为曲边梯形.求其面积A的基本思想是在很小的区间上用小矩形面积近似代替小梯形面积.
图5-1
第一步：分割.
用一串分点a=x0＜x1＜…＜xn=b，把[a，b]分成n个小区间，过每个分点作x轴的垂线段，相应地把曲边梯形分成n个小曲边梯形，其中，第i个小曲边梯形为
xi-1≤x≤xi，0≤y≤f（x），记它们的面积依次为
ΔA1，ΔA2，…，ΔAn.
第二步：取近似.
在每个小区间[xi-1，xi]上任取一点ξi，以区间[xi-1，xi]的长为底，f（ξi）为高的小矩形的面积应为第i个小曲边梯形面积的近似值，即
ΔAi≈f（ξi）Δxi.
第三步：作和.
将n个小矩形的面积相加，得到曲边梯形面积A的近似值，即
第四步：求极限（由近似过渡到精确）.
显然上述过程划分得越细，近似效果越好，为保证每个小区间的长度都无限小，记
于是，令λ→0（这时小区间的个数n无限增多，即n→∞），如果上述和式极限存在，则此极限值就是曲边梯形的面积，即
2.变速直线运动的路程问题
设物体作变速直线运动，其速度v是时间t的函数v=v（t），下面计算该物体从时刻a到时刻b经过的路程s.
第一步：分割.
用一串分点a=t0＜t1＜…＜tn=b，把[a，b]分成n个小区间[tj-1，tj]，小区间长度记为Δtj=tj-tj-1（j=1，2，…，n），各时间段内物体运动的路程依次为
Δs1，Δs2，…，Δsn.
第二步：取近似.
在[tj-1，tj]上任取一点τj，以时刻τj的速度v（τj）近似代替[tj-1，tj]上的速度，则在Δtj时间内物体经过的路程Δsj的近似值为
Δsj≈v（τj）Δtj.
第三步：作和.
将n个时间段的路程近似值相加，便得到总路程s的近似值：
第四步：求极限.
记
，令λ→0，如果上述和式极限存在，则此极限值就是总路程s
的精确值，
即
二、定积分的定义
上面的两个例子，前者是几何量，后者为物理量，虽然问题不同但解决的方法是相同的，都是通过“分割、近似、作和、求极限”这四个步骤化为具有同一数学结构的和式极限.抛开问题的实际意义，保留其数学结构，便可抽象出定积分的概念.
定义5.1 设f（x）在区间[a，b]有定义，在[a，b]内任意插入n-1个分点：a=x0＜x1＜x2＜…＜xn-1＜xn=b，将[a，b]分成n个小区间：[x0，x1]，[x1，x2]，…，[xi-1，xi]，…，[xn-1，xn]，第i个小区间[xi-1，xi]的长度表示为Δxi=xi-xi-1，记λ1=≤im≤nax{Δxi}在[xi-1，xi]中任取一点ξi（i=1，2，3，…，n），作和
f（ξi）Δxi.如果当λ→0时，S趋于确定的极限I，且I与分法无关，也与ξi在[xi-1，xi]中的取法无关，则称f（x）在[a，b]上可积，极限I称为f（x）在[a，b]上的定积分，记作∫baf（x）dx，即
其中，f（x）叫做被积函数，f（x）dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a与b叫做积分下限与积分上限.
如果当λ→0时，积分和S不存在极限，则称f（x）在[a，b]上不可积.
注：1）定积分的值只与被积函数f（x）以及积分区间[a，b]有关，而与积分变量用什么字母表示无关，即
2）被积函数f（x）在区间[a，b]上有界只是可积的必要条件，关于可积的充分条件只给出如下三个结论，而不作深入研究.
定理5.1 若函数f（x）在区间[a，b]上连续，则f（x）在区间[a，b]上可积.
定理5.2 若函数f（x）在区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则f（x）在区间[a，b]上可积.
定理5.3 若函数f（x）在区间[a，b]上是单调的，则f（x）在区间[a，b]上可积.
3）为计算和使用方便，作如下规定：
规定1 当a=b时，∫baf（x）dx=∫aaf（x）dx=0；
规定2 当a＞b时，∫baf（x）dx=-∫abf（x）dx.
4）根据定积分的定义，前面两个引例中，曲边梯形的面积A用定积分可表示为
A=∫baf（x）dx.变速直线运动的路程s用定积分可表示为
s=∫bav（x）dx.三、定积分的几何意义
若在[a，b]上，f（x）≥0，则定积分∫baf（x）dx表示由曲线y=f（x），x轴及直线x=a，x=b所围成的曲边梯形的面积.
若f（x）≤0，则定积分∫baf（x）dx表示上述曲边梯形的面积的相反数.
若函数f（x）在[a，b]上有正有负，则定积分∫baf（x）dx表示各部分面积的代数和.如图5-2所示.
图5-2
例1 计算定积分
.
解 由定积分的几何意义知，该积分值等于由x=0，x=a，y=0和y=
所围半径为a的四分之一圆的面积，
即(www.chuimin.cn)
例2 计算定积分
解 因为f（x）=sinx在[a，b]上连续，故sinx在[a，b]上可积，因此可以对[a，b]采用特殊的分法，以及选取特殊的点ξi，取极限
f（ξi）Δxi，即得到积分值.
将[a，b]n等分，则
，取
，i=1，2，…，n则有
为了书写方便，令
，利用积化和差公式有
所以
四、定积分的基本性质
在下面讨论中，总假设函数在所讨论的区间上都是可积的.
性质1 ∫ba[f（x）±g（x）]dx=∫baf（x）dx±∫bag（x）dx.
证 
性质2 
（k为常数）.
性质3（积分区间的可加性） 如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和，设a＜c＜b，则
证 因为函数f（x）在[a，b]上可积，所以不论把[a，b]怎样划分，也不论ξi怎样选取，当λ→0时，积分和的极限都是不变的，所以可以选取c（a＜c＜b）永远是个分点
即
推广 不论a，b，c的相对位置如何，总有等式
成立.例如，当a＜b＜c时，由于
则
性质4 如果在闭区间[a，b]上f（x）≡1，则
性质5 如果在闭区间[a，b]上f（x）≥0，则
证 
.
因为f（x）≥0，故f（ξi）≥0（i=1，2，…，n），又因为Δxi≥0（i=1，2，…，n），因此
所以
即
推论5.1 如果在闭区间[a，b]上，f（x）≤g（x），则
推论5.2 
性质6 设M和m分别是函数f（x）在闭区间[a，b]上的最大值和最小值，则
证 因为m≤f（x）≤M，由推论5.1得
再由性质2及性质4可得
性质7 如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则在积分区间[a，b]上至少存在一点ξ，使下式成立
证 因f（x）在[a，b]上连续，故必存在最大值M与最小值m，由性质6，有
这说明，
介于M与m之间，根据闭区间上连续函数的介值定理（第一章第七节定理1.22），在区间[a，b]内存在一点ξ，使得函数f（x）在点ξ处的值与这个值相等，
即
此性质称为积分中值定理
积分中值定理有其明显的几何意义：
设f（x）≥0，由曲线y=f（x），x轴及直线x=a，x=b所围成的曲边梯形的面积等于以区间[a，b]为底，某一函数值f（ξ）为高的矩形面积（见图5-3）.
称为函数f（x）在区间[a，b]上的平均值.
图5-3
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