两个多项式的商称为有理函数，其中n和m是非负整数，且a0≠0，b0≠0.当n≥m≥1时，称式（4－5）所表示的函数为有理假分式函数；当n＜m时，称式（4－5）所表示的函数为有理真分式函数.当f是假分式时，利用多项式的除法，可将它化为一个多项式与一个真分式的和.例如，因此有理函数的积分问题可归结为求真分式的积分问题.1）有理函数的分解定理1设有真分式（4－5）式，若Qm＝b0（x－a）α…（x－b）βλ…......
2023-11-19
高等数学：有理函数积分简易解析
【摘要】：一、有理函数的积分两个多项式的商称为有理函数，又称有理分式.其中，Pn、Qm分别是关于x的n次和m次的实系数多项式.当n＜m时，称为有理真分式，否则称为有理假分式.对于有理假分式，由于n≥m，应用多项式的除法，可得其中，r是多项式，而Pl是次数小于Qm的多项式.即有理假分式总能化为多项式与有理真分式之和.多项式的积分容易求得，故只需讨论有理真分式的积分.设有理真分式，若分母Qm因式分解为Qm=a0（x-a）α（x-b）β…
一、有理函数的积分
两个多项式的商
称为有理函数，又称有理分式.
其中，Pn（x）、Qm（x）分别是关于x的n次和m次的实系数多项式.
当n＜m时，称为有理真分式，否则称为有理假分式.对于有理假分式，由于n≥m，应用多项式的除法，可得
其中，r（x）是多项式，而Pl（x）是次数小于Qm（x）的多项式.
即有理假分式总能化为多项式与有理真分式之和.多项式的积分容易求得，故只需讨论有理真分式的积分.
设有理真分式
，若分母Qm（x）因式分解为
Qm（x）=a0（x-a）α（x-b）β…（x2+px+q）λ…（x2+rx+s）μ…
其中，α，β，…，λ，μ，…是正整数，各二次多项式无实根，则R（x）可唯一地分解成下面形式的分式之和.
其中，A1，A2，…；B1，B2，…；M1，M2，…；N1，N2，…；R1，R2，…；S1，S2，…都是实常数，可以由待定系数法确定.
这样，求有理真分式的积分最终归结为求下面四类最简分式的积分：
1）
；2）
；3）
；4）
.
其中，A、B、C、a、p、q均为常数，且二次式x2+px+q无实根.
例1 求
.
解 设
，由x-4=A（x-1）+B（x+2）=（A+B）x+2B-A，有
，解得
，故
，从而
.
例2 求
.
解 因为x3+x=（x2+x+2）（x-1）+2，所以
，则
.
例3 求
.
解 
.
例4 求
.(www.chuimin.cn)
解 设
，解得A=1，B=-1，C=-2，D=-3，E=-4，有
，于是
.
分别求上式等号右端的每一个不定积分：
，
’
’
由4.3节例8的递推公式有
.
所以
于是
二、可化为有理函数的积分
例5 求
.
解 由三角函数的万能公式可知，sinx和cosx都可表示为
的有理式，令
，则有x=2arctant，
，
，
则
.
例6 求
解 令
例7 求
.
解 设
，则
例8 求
.
解 为了能同时消去两个根式
和
，设
，则dx=6t5dt，
例9 求
.
解 令
，则
，
，
例10 求
.
解 设
，则
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