一、第一类换元法在上一节中，虽已介绍了一些求原函数的方法，但这些方法在有些情况下是不够的.例如，∫cos2xdx就不易求解.如果令2x=u，可得代回原变量，得.一般地，设f（u）是u的连续函数，且∫f（u）du=F（u）+C，若u=φ（x）有连续的导数φ′（x），则∫f（φ（x））φ′（x）dx=F（φ（x））+C要证明上式成立，只需证明[F（φ（x））]′=f（φ（x））φ′（x）即可.因为[F......
2023-11-22
分部积分法求出积分-高等数学（上、下册）
【摘要】：若u=u（x）与v=v（x）都有连续的导数，则由函数乘积的求导公式（uv）′=u′v+uv′，移项得uv′=（uv）′-u′v.对这个等式两边求不定积分，得∫uv′dx=uv-∫u′vdx，即∫udv=uv-∫vdu.这个公式称为分部积分公式.一般地，当∫udv不易计算而∫vdu较易计算时，就使用这个公式.例1 求∫xcosxdx.解 设u=x，则dv=cosxdx，du=dx，v=sinx，利用
若u=u（x）与v=v（x）都有连续的导数，则由函数乘积的求导公式（uv）′=u′v+uv′，移项得
uv′=（uv）′-u′v.
对这个等式两边求不定积分，得
∫uv′dx=uv-∫u′vdx，即∫udv=uv-∫vdu.
这个公式称为分部积分公式.
一般地，当∫udv不易计算而∫vdu较易计算时，就使用这个公式.
例1 求∫xcosxdx.
解 设u=x，则dv=cosxdx，du=dx，v=sinx，利用分部积分公式得
∫xcosxdx=xsinx-∫sinxdx=xsinx+cosx+C.
例2 求∫xexdx.
解 设u=x，dv=exdx，则du=dx，v=ex，则
∫xexdx=xex-∫exdx=xex-ex+C.
例3 求∫x2exdx.
解 设u=x2，dv=exdx，则du=2xdx，v=ex，则
当运算熟练以后，可以不必写出u、v，而直接写出结果.
例4 求∫lnxdx.(www.chuimin.cn)
解 
.
例5 求∫xarctanxdx.
解 
例6 求∫exsinxdx.
解 ∫exsinxdx=∫sinxdex=exsinx-∫exdsinx=exsinx-∫excosxdx
注意到∫excosxdx与所求积分是同一类型的，需再进行一次分部积分，
.
则
.
例7 求∫sec3xdx.
解 
，则
.
例8 求
（其中，n为正整数）.
解 当n=1时，
.
当n＞1时，
于是
.
由此递推公式，并由
，可得In.
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