上节我们在复合函数求导法则的基础上，给出了转化不定积分的重要方法——换元积分法.但有很多积分如等利用换元积分仍然无法积出.本节将在函数乘积的求导公式的基础上，推导出转化不定积分的另一重要方法——分部积分法.设函数u＝u（x），v＝v（x）具有连续的导数，那么两个函数乘积的求导公式为（uv）′＝u′v＋uv′移项得uv′＝（uv）′－u′v对上式两边积分得或公式（4－2）或（4－3）称为不定积分的分......
2025-09-30
分部积分法求出积分-高等数学（上、下册）
【摘要】：若u=u（x）与v=v（x）都有连续的导数，则由函数乘积的求导公式（uv）′=u′v+uv′，移项得uv′=（uv）′-u′v.对这个等式两边求不定积分，得∫uv′dx=uv-∫u′vdx，即∫udv=uv-∫vdu.这个公式称为分部积分公式.一般地，当∫udv不易计算而∫vdu较易计算时，就使用这个公式.例1 求∫xcosxdx.解 设u=x，则dv=cosxdx，du=dx，v=sinx，利用
若u=u（x）与v=v（x）都有连续的导数，则由函数乘积的求导公式（uv）′=u′v+uv′，移项得
uv′=（uv）′-u′v.
对这个等式两边求不定积分，得
∫uv′dx=uv-∫u′vdx，即∫udv=uv-∫vdu.
这个公式称为分部积分公式.
一般地，当∫udv不易计算而∫vdu较易计算时，就使用这个公式.
例1 求∫xcosxdx.
解 设u=x，则dv=cosxdx，du=dx，v=sinx，利用分部积分公式得
∫xcosxdx=xsinx-∫sinxdx=xsinx+cosx+C.
例2 求∫xexdx.
解 设u=x，dv=exdx，则du=dx，v=ex，则
∫xexdx=xex-∫exdx=xex-ex+C.
例3 求∫x2exdx.
解 设u=x2，dv=exdx，则du=2xdx，v=ex，则
当运算熟练以后，可以不必写出u、v，而直接写出结果.
例4 求∫lnxdx.(https://www.chuimin.cn)
解 
.
例5 求∫xarctanxdx.
解 
例6 求∫exsinxdx.
解 ∫exsinxdx=∫sinxdex=exsinx-∫exdsinx=exsinx-∫excosxdx
注意到∫excosxdx与所求积分是同一类型的，需再进行一次分部积分，
.
则
.
例7 求∫sec3xdx.
解 
，则
.
例8 求
（其中，n为正整数）.
解 当n=1时，
.
当n＞1时，
于是
.
由此递推公式，并由
，可得In.
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