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高等数学（上、下册）：函数图形描绘及渐近线解析

2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：一、渐近线首先介绍曲线的渐近线，它规范着无穷远处函数曲线的走向.定义3.5 若曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远处时，该点到某直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近线.按直线的走向，渐近线可分为3种，即水平渐近线、铅直渐近线和斜渐近线.1）水平渐近线：平行于x轴的渐近线称为水平渐近线.设曲线y=f（x）的定义域是无限区间，若或（b为常数），则y=b就是曲线y=f（x）的一条水平渐近线.2）铅直渐近线

一、渐近线

首先介绍曲线的渐近线，它规范着无穷远处函数曲线的走向.

定义3.5 若曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远处时，该点到某直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近线.

按直线的走向，渐近线可分为3种，即水平渐近线、铅直渐近线和斜渐近线.

1）水平渐近线：平行于x轴的渐近线称为水平渐近线.

设曲线y=f（x）的定义域是无限区间，若或（b为常数），则y=b就是曲线y=f（x）的一条水平渐近线.

2）铅直渐近线：垂直于x轴的渐近线叫做铅直渐近线.

若或，则直线x=x₀就是曲线y=f（x）的一条铅直渐近线.

例1 求曲线的水平和铅直渐近线.

解因为，所以y=2为曲线的水平渐近线；又因为，所以x=1为曲线的铅直渐近线（见图3-11）.

3）斜渐近线：既不平行也不垂直于x轴的渐近线.

图3-11

设直线y=kx+b是曲线y=f（x）在x→+∞时的一条斜渐近线，由定义，有，则；又，即，则.

例2 求曲线的渐近线.

解因为，，所以有铅直渐近线为x=-3和x=1；又因为，，故y=x-2为曲线的斜渐近线（见图3-12）.

例3 讨论曲线y=x+lnx的渐近线.

解因为，所以曲线没有水平渐近线；，所以x=0是曲线的一条铅直渐近线.

又因为，但是所以.

所以，曲线没有斜渐近线.

图3-12

二、函数图形的描绘

由前面几节关于函数的各种形态的讨论，可以描绘出函数的基本图形.

主要步骤：

1）确定函数的定义域；

2）讨论函数的一些基本性质，如奇偶性、周期性等；

3）求出f′（x）和f″（x）的零点和不存在的点，用所求出的点把定义域分成若干区间，列表确定函数的单调性、凹凸性、极值点和拐点；

4）确定函数的渐近线；

5）在直角坐标系中，标明一些关键点的坐标，画出渐进线，按照曲线的性态逐段描绘.

例4 作出函数的图像.

解 1）的定义域为（-∞，-1）∪（-1，1）∪（1，+∞）；(www.chuimin.cn)

2）f（x）为偶函数，无周期性；

3）

f（x）和f′（x）的零点是x=0，在x=±1处，f（x）、f′（x）和f″（x）均不存在；

4）用-1、0、1这3个点把定义域分为四个区间，并列表如下：

5）考察曲线的渐近线：

由于，，所以x=±1均是铅直渐近线；因为_xl→im∞f（x）=2，所以y=2是一条水平渐近线.

6）绘出函数的图像（见图3-13）

例5 作出函数的图像.

解 f（x）的定义域为（-∞，1）∪（1，+∞）；f（x）为非奇非偶函数，也无周期性；

图3-13

f′（x）的零点是x₁=-1和x₂=3，f″（x）无零点，列表如下：

考察曲线的渐近线：

所以x=1是铅直渐近线.

所以是f（x）的斜渐近线.

综合上述讨论，绘出该函数的图像（见图3-14）.

例6 作出函数的图像.

图3-14

解 f（x）的定义域是（-∞，+∞），f（x）为偶函数关于y轴对称，因此只要讨论[0，+∞）即可，f（x）无周期性；，，f′（x）的零点是0，f″（x）的零点是±1，它们把定义域分成三个区间，在[0，+∞）区间列表如下：

因为，所以x轴是水平渐近线.

综合上述讨论，绘出函数的图像（见图3-15）.

图3-15