一、函数的极值
定义3.3 设函数y=f（x）在点x0的某去心邻域
（x0）内有定义，并且对于任意
，有
f（x0）＞f（x）（或f（x0）＜f（x）），则称f（x0）为函数f（x）的极大值（或极小值），x0称为函数f（x）的极大值点（或极小值点）.
极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点.
如图3-8所示，函数f（x）在点x2、x5处取得极大值，在点x1、x4、x6处取得极小值.
图3-8
从图3-8中还可以看出，在可导的极值点处，如x2、x4、x5和x6，曲线的切线是水平的.
定理3.9 （极值的必要条件）若y=f（x）在点x0处可导，且x0是函数y=f（x）的极值点，则f′（x0）=0.
证 不妨设x0是函数y=f（x）的极大值点，即存在x0的某去心邻域
，对于任意
，有f（x）＜f（x0），因此，当x＞x0时，
；当x＜x0时，
.
由f（x）在点x0可导及极限的保号性，有
于是有f′（x0）=0.
极小值类似可证，在此不再赘述.
定义3.4 使导数为零的点称为函数f（x）的驻点.
可导函数f（x）的极值点必定是它的驻点；反之，驻点却不一定是极值点，如图3-8所示，曲线中的x3.
从图3-8中可以看出，如x1、x2、x4、x5和x6，极值点的两侧适当小邻域内，函数单调性相反，由此可得到判定极值的充分条件.
定理3.10 （极值的第一充分条件）设函数f（x）在点x0处连续，且在x0的某去心邻域
内可导，
1）当x∈（x0-δ，x0）时，f′（x）＞0，而当x∈（x0，x0+δ）时，f′（x）＜0，函数f（x）在点x0处取得极大值；
2）当x∈（x0-δ，x0）时，f′（x）＜0，而当x∈（x0，x0+δ）时，f′（x）＞0，函数f（x）在点x0处取得极小值；
3）当
时，f′（x）的符号保持不变，则x0不是f（x）的极值点.
此定理的证明留与读者自证.
例1 求函数f（x）=2x3-3x2-12x+1的极值.
解 f′（x）=6x2-6x-12=6（x+1）（x-2），
令f′（x）=0，解得x1=-1，x2=2，
列表讨论如下：
所以，-1是函数f（x）的极大值点，极大值是f（-1）=8；2是函数f（x）的极小值点，极小值是f（2）=-19.
例2 讨论函数
单调性和极值.
解 
，
当
时，f′（x）=0；当x=0时，f′（x）不存在.
列表讨论如下：
所以，函数在x=0有极大值0，在
有极小值
.
定理3.11 （极值的第二充分条件）设函数f（x）在x0处具有二阶导数且f′（x0）=0，f″（x0）≠0，则
1）当f″（x0）＞0时，函数f（x）在x0处取得极小值；2）当f″（x0）＜0时，函数f（x）在x0处取得极大值.
证 1）因为f′（x0）=0，利用导数定义有
由f″（x0）>0及极限的保号性可知，在x0的某一去心邻域内有
，
当x＜x0时，有f′（x）＜0；当x＞x0时，有f′（x）＞0，由定理3.9可知，x0是函数f（x）的极小值点，f（x0）是极小值.
2）同理可证.(www.chuimin.cn)
例3 讨论函数f（x）=（x2-1）3+1的极值.
解 f′（x）=6x（x2-1）2，f″（x）=6（x2-1）（5x2-1），
令f′（x）=0，得驻点x1=-1，x2=0和x3=1，
f″（0）=6＞0，故f（0）=0为极小值，
由于f″（-1）=f″（1）=0无法使用定理3.11判断，故需用极值的第一充分条件来判断.由于f′（x）在x=1的左、右邻域内同号，故f（x）在x=1处没有极值，同理f（x）在x=-1处也没有极值.
二、函数的最值
若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则一定取得最大值和最小值.如果说极值是一个局部概念的话，那么最值就是个整体概念.
一般地，求连续函数f（x）在闭区间[a，b]上的最值，首先求出函数的全部驻点和不可导点，计算这些点的函数值再和区间端点函数值f（a）、f（b）进行比较，其中最大者就是区间[a，b]上的最大值，最小者就是区间[a，b]上的最小值.
例4 求f（x）=x3-3x2-9x+1在区间[-4，4]上的最大值和最小值.
解 由方程f′（x）=3x2-6x-9=0解得x=-1，x=3.
f″（x）=6x-6，f″（-1）=-12＜0，f″（3）=12>0.
f（x）在x=-1取得极大值f（-1）=6；
f（x）在x=3取得极小值f（3）=-26；
端点处f（-4）=-75，f（4）=-19.
所以在[-4，4]上，函数最大值为6，最小值为-75.
例5 求函数
在[-1，1]上的最大值和最小值.
解 由例2知，函数f（x）在（-1，1）内有两个临界点，当
时，f′（x）=0；当x=0时，f′（x）不存在.
又因为f（0）=0，
，f（-1）=-2，f（1）=0，所以在[-1，1]上，函数最大值为0，最小值为-2.
对于求函数最值的应用题，有时可根据实际意义来判断可疑点是否为最值.
例6 一张高1.4m的图画挂在墙上，它的底边高于观察者的眼睛1.8m，则观察者站在距墙多远处看图最清楚（视角θ最大）？
解 如图3-9所示，设观察者距墙xm，则
令θ′=0，得x=2.4.
根据问题的实际意义，观察者最佳站位一定存在，而驻点唯一，因此观察者站在距墙2.4m处时看图最清楚.
图3-9
例7 如图3-10所示，铁路线上AB段的距离为100km.工厂C距A处为20km，AC垂直于AB.为了运输需要，要在AB线上选定一点D向工厂修筑一条公路.已知铁路上每千米货运的运费与公路上每千米货运的运费之比为3∶5，为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省，问D点应选在何处？
解 设AD=x，那么DB=100-x，
由于铁路上每千米货运的运费与公路上每公里货运的运费之比为3∶5，因此不妨设铁路上每公里的运费为3k，公路上每公里的运费为5k（k为常数）.
图3-10
设从B点到C点需要的总运费为y，那么
y=5k·CD+3k·DB，
即得目标函数
（0≤x≤100）.
现在来求x在区间[0，100]上取何值时，函数y的值最小.
求导数：
.
令y′=0，得x=15.
由于
，
，其中，以yx=15=380k为最小，因此当AD=15km时，总运费最省.
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