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洛必达法则：解决或型未定式的方法

2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：在求或时，若发现f（x）和g（x）同时趋于0，或同时趋于∞，如，，则上述极限可能存在，也可能不存在.要根据具体的函数来进一步确定，通常把这种极限称为或型的未定式，这种未定式是不能用商的极限运算法则来计算的.在这一节中，可以利用洛必达法则来解决这类问题.一、“”型未定式定理3.4 （洛必达法则）设函数f（x）和g（x）满足条件：1）；2）在点a的某个去心邻域U°（a）内都可导，且g′（x）≠0；3）

在求或时，若发现f（x）和g（x）同时趋于0，或同时趋于∞，如，，则上述极限可能存在，也可能不存在.要根据具体的函数来进一步确定，通常把这种极限称为或型的未定式，这种未定式是不能用商的极限运算法则来计算的.在这一节中，可以利用洛必达法则来解决这类问题.

一、“”型未定式

定理3.4 （洛必达法则）设函数f（x）和g（x）满足条件：

1）；2）在点a的某个去心邻域U°（a）内都可导，且g′（x）≠0；3）；则）.

证在点x=a处补充定义f（x）=g（x）=0，则函数f（x）与g（x）在点x=a点连续.

对任意，在以x和a为端点的区间上，由柯西中值定理，则在x与a之间存在一点ξ，使得.

又因为ξ在x与a之间，所以当x→a时，有ξ→a，上式两边取极限，得

将此定理中的x→a换成其他的自变量变化过程亦成立，证明从略.

例1 求.

解由洛必达法则，有.

例2 求.

解由洛必达法则，.

求一个未定式的极限时，如果一阶导数之比还是未定式，只要仍满足洛必达法则的条件，则可以再次使用洛必达法则.倘若结果还是未定式，那么还可以继续使用洛必达法则.

例3 求.

解 .二、“”型未定式

定理3.5 设函数f（x）与g（x）满足：

1）在点a的某个去心邻域U°（a）内都可导，且g′（x）≠0；2）；3）；则.将此定理中的x→a换成其他的自变量变化过程亦成立，证明从略.

例4 求.

解

例5 求.(www.chuimin.cn)

解 .

例6 求极限（n为正整数，λ＞0）.

解 .三、其他型未定式

例7 求.

解 .

例8 求极限.

解 .

例9 求.

解，则.

例10 求.

解，其中，，则.

例11 求.

解.

例12 求.

解极限不存在，不能应用洛必达法则.实际上，.

例13 求.

解这是“”型未定式，因极限不存在，所以有

例14 求.

解先用等价无穷小代换，再用洛必达法则.