一、罗尔定理定理3.1 若函数f（x）满足条件：1）在[a，b]上连续；2）在（a，b）内可导；3）在区间端点处的函数值相等，即f（a）=f（b）；则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f′（ξ）=0.证 如图3-1所示，因为f（x）在[a，b]上连续，由连续函数的性质，f（x）在[a，b]上必有最大值M和最小值m.1）如果m=M，则f（x）在[a，b]上恒为常数M，因此在（a，b）内恒有f（x）=......
2023-11-22
高等数学（上、下册）：微分的概念与计算
【摘要】：一、微分的概念1.引例一块正方形金属薄片受温度变化的影响，边长由x0变到x0+Δx，此薄片面积改变了多少？
一、微分的概念
1.引例
一块正方形金属薄片受温度变化的影响，边长由x0变到x0+Δx，此薄片面积改变了多少？
如图2-3所示，设薄片边长为x，面积为A，则A=x2，当x在x0取得增量Δx时，面积的增量ΔA=（x0+Δx）2-x02=2x0Δx+（Δx）2.
ΔA包括两部分，第一部分2x0Δx是Δx的线性函数，第二部分（Δx）2为Δx的高阶无穷小.因此，当Δx很小时，就可以用2x0Δx来近似代替ΔA.用微分dA来表示，记作dA=2x0Δx.
图2-3
2.微分
定义2.3 设函数y=f（x）在x0的某个邻域内有定义，若函数y=f（x）在x0的改变量Δy与自变量x的改变量Δx满足
Δy=AΔx+ο（Δx）其中，A是与Δx无关的常数，则称函数y=f（x）在点x0处可微，AΔx称为函数f（x）在点x0处的微分，表示为dy=AΔx或df（x0）=AΔx.
dy通常也称为Δy的线性主部.
二、可微与可导的关系
定理2.6 函数y=f（x）在x0可微的充分必要条件是函数y=f（x）在x0可导，且A=f′（x0）.即
dy=f′（x0）Δx.
证 先证必要性.
设函数f（x）在x0可微，即Δy=AΔx+ο（Δx），其中，A是与Δx无关的常数，两边同除以Δx，得
，有
，
所以函数y=f（x）在x0可导，且A=f′（x0）.
再证充分性.
设函数y=f（x）在x0可导，即
则
，α→0（当Δx→0时）.
从而Δy=f′（x0）Δx+αΔx=f′（x0）Δx+ο（Δx），其中，f′（x0）是与Δx无关的常数，ο（Δx）是比Δx高阶的无穷小，于是函数f（x）在x0可微，且A=f′（x0）.
若对于函数y=x求微分，可得
dy=dx=（x）′·Δx=Δx.
于是函数f（x）在点x处的微分又可写作dy=f′（x）dx或
.在这个意义下，导数又叫做微商.
三、几何意义
如图2-4所示，PM是曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线.已知切线PM的斜率tanφ=f′（x0）.
由此可见，dy=MN是曲线y=f（x）在点P（x0，y0）的切线PM的纵坐标的增量.因此，用dy近似代替Δy，就是用在点P（x0，y0）处切线的纵坐标的增量MN近似代替函数f（x）的增量QN，QM=QN-MN=Δy-dy=ο（Δx）.(www.chuimin.cn)
图2-4
四、微分法则
由dy=f′（x）dx，求微分dy，只要求出导数f′（x），再乘以dx即可.由导数公式和运算法则可相应地得到微分公式和微分运算法则：
1）dc=0 2）d（xμ）=μxμ-1dx；3）d（sinx）=cosxdx；4）d（cosx）=-sinxdx；5）d（tanx）=sec2xdx；6）d（cotx）=-csc2xdx；7）d（secx）=secx·tanxdx；8）d（cscx）=-cscx·cotxdx；9）d（ax）=axlnadx；10）d（ex）=exdx；11）
；12）
；13）
；14）
；15）
；16）
；17）d（u±v）=du±dv；18）d（uv）=vdu+udv；19）
.
五、微分形式不变性
设y=f（u），u=φ（x），则复合函数y=f（φ（x））的微分为
dy=yx′dx=f′（u）φ′（x）dx.
由于φ′（x）dx=du，所以复合函数y=f（φ（x））的微分公式也可以写成
dy=f′（u）du或dy=yu′du.
由此可见，无论u是自变量还是自变量的可导函数，微分形式dy=f′（u）du保持不变，这一性质称为微分形式不变性.
例1 求y=exsinx的微分.
解 方法一：利用微分公式dy=f′（x）dx，得
dy=（exsinx）′dx=ex（sinx+cosx）dx.
方法二：利用微分形式不变性，得
dy=sinxdex+exdsinx=ex（sinx+cosx）dx.
六、微分在近似计算中的应用
若函数y=f（x）在x0可微，则Δy=dy+ο（Δx），即
f（x0+Δx）-f（x0）=f′（x0）Δx+ο（Δx）.当|Δx|→0时，忽略高阶无穷小量，得
f（x）≈f（x0）+f′（x0）Δx.
例2 求tan31°的近似值.
解 设f（x）=tanx，
有
例3 求e-0.01的近似值.
解 设f（x）=ex，x0=0，Δx=-0.01，又f′（x）=ex，有e-0.01≈e0+e0（-0.01）=0.99.
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